Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 217]      

На клетчатой бумаге выбраны три точки A, B, C, находящиеся в вершинах клеток. Докажите, что если треугольник ABC остроугольный, то внутри или на сторонах его есть по крайней мере еще одна вершина клетки.

Прислать комментарий

Решение

Бесконечная плоская ломаная A₀A₁...A_n..., все углы которой прямые, начинается в точке A₀ с координатами x = 0, y = 1 и обходит начало координат O по часовой стрелке. Первое звено ломаной имеет длину 2 и параллельно биссектрисе 4-го координатного угла. Каждое из следующих звеньев пересекает одну из координатных осей и имеет наименьшую возможную при этом целочисленную длину. Расстояние OA_n = l_n. Сумма длин первых n звеньев ломаной равна s_n. Доказать, что найдётся n, для которого > 1958.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости даны две неконцентрические окружности S₁ и S₂. Докажите, что геометрическим местом точек, для которых степень относительно S₁ равна степени относительно S₂, является прямая.

Прислать комментарий

Решение

Опустим из точки M перпендикуляры MA₁, MB₁ и MC₁ на прямые BC, CA и AB. Для фиксированного треугольника ABC множество точек M, для которых угол Брокара треугольника A₁B₁C₁ имеет заданное значение, состоит из двух окружностей, причем одна из них расположена внутри описанной окружности треугольника ABC, а другая вне ее (окружности Схоуте).

Прислать комментарий

Решение

Известно, что  x + 2y + 3z = 1.  Какое минимальное значение может принимать выражение  x² + y² + z²?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 217]