Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 217]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
На клетчатой бумаге выбраны три точки A, B, C, находящиеся в вершинах
клеток. Докажите, что если треугольник ABC остроугольный, то внутри или
на сторонах его есть по крайней мере еще одна вершина клетки.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Бесконечная плоская ломаная
A0A1...An..., все углы которой прямые,
начинается в точке A0 с координатами x = 0, y = 1 и обходит начало координат
O по часовой стрелке. Первое звено ломаной имеет длину 2 и параллельно
биссектрисе 4-го координатного угла. Каждое из следующих звеньев пересекает
одну из координатных осей и имеет наименьшую возможную при этом целочисленную
длину. Расстояние OAn = ln. Сумма длин первых n звеньев ломаной равна
sn. Доказать, что найдётся n, для которого
> 1958.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
На плоскости даны две неконцентрические
окружности S1 и S2. Докажите, что геометрическим местом точек,
для которых степень относительно S1 равна степени
относительно S2, является прямая.
|
[Оружности Схоуте]
|
|
Сложность: 7+
Классы: 9,10,11
|
Опустим из точки M перпендикуляры MA1, MB1 и
MC1 на прямые BC, CA и AB. Для фиксированного треугольника ABC
множество точек M, для которых угол Брокара треугольника A1B1C1 имеет
заданное значение, состоит из двух окружностей, причем одна из них расположена
внутри описанной окружности треугольника ABC, а другая вне ее
(окружности Схоуте).
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 9,10,11
|
Известно, что x + 2y + 3z = 1. Какое минимальное значение может принимать выражение x² + y² + z²?
Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 217]
Фильтр
