Страница:
<< 38 39 40 41
42 43 44 >> [Всего задач: 217]
Ковбой Джимми поспорил с друзьями, что сумеет одним выстрелом пробить все
четыре лопасти вертилятора. (Вертилятор устроен следующим образом: на оси,
вращающейся со скоростью 50 об/сек, расположены на равных расстояниях друг от
друга четыре полудиска, повернутые друг относительно друга под какими-то углами).
Джимми может стрелять в любой момент и добиваться произвольной скорости пуль.
Доказать, что Джимми выиграет пари.
|
|
|
Сложность: 6-
Классы: 9,10,11
|
Игрок на компьютере управляет лисой, охотящейся за двумя зайцами.
В вершине
A квадрата
ABCD находится нора: если в нее, в
отсутствие лисы, попадает хотя бы один заяц, то игра проиграна.
Лиса ловит зайца, как только оказывается с ним в одной точке
(возможно, в точке
A ). Вначале лиса сидит в точке
C , а
зайцы – в точках
B и
D . Лиса бегает повсюду со скоростью не
больше
v , а зайцы – по лучам
AB и
AD со скоростью не
больше 1. При каких значениях
v лиса сможет поймать
обоих зайцев?
|
|
|
Сложность: 6-
Классы: 9,10,11
|
На плоскости отмечены все точки с целыми координатами
(
x,y)
такие,
что
x2+y2
10
10
. Двое играют в игру (ходят по очереди).
Первым ходом первый игрок ставит фишку в какую-то отмеченную точку и
стирает ее. Затем каждым очередным ходом игрок переносит фишку в
какую-то другую отмеченную точку и стирает ее. При этом длины ходов
должны все время увеличиваться; кроме того, запрещено делать ход из
точки в симметричную ей относительно центра. Проигрывает тот, кто не может
сделать ход. Кто из играющих может обеспечить себе победу, как бы ни
играл его соперник?
|
|
|
Сложность: 7
Классы: 9,10,11
|
а) На плоскости лежит правильный восьмиугольник. Его разрешено "перекатывать" по плоскости, переворачивая (симметрично отражая) относительно любой стороны. Докажите, что для любого круга можно перекатить восьмиугольник в такое положение, что его центр окажется внутри круга.
б) Решите аналогичную задачу для правильного пятиугольника.
в) Для каких правильных n-угольников верно аналогичное утверждение?
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
|
Три кузнечика сидят на прямой так, что два крайних отстоят на 1 м от среднего. Каждую секунду один из кузнечиков прыгает через другого в симметричную точку
(если A прыгает через B в точку A1, то AB = BA1). Через некоторое время кузнечики оказались на тех же местах, что и вначале, но в другом порядке. Докажите, что поменялись местами крайние кузнечики.
Страница:
<< 38 39 40 41
42 43 44 >> [Всего задач: 217]
Фильтр
