Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 349]      

Три плоскости разрезают параллелепипед на 8 шестигранников, все грани которых – четырёхугольники (каждая плоскость пересекает свои две пары противоположных граней параллелепипеда и не пересекает две оставшиеся грани). Известно, что вокруг одного из этих шестигранников можно описать сферу. Докажите, что и вокруг каждого из них можно описать сферу.

Прислать комментарий

Решение

На каждой из двенадцати диагоналей граней куба выбирается произвольная точка. Определяется центр тяжести этих двенадцати точек.
Найдите геометрическое место всех таких центров тяжести.

Прислать комментарий

Решение

Можно ли четырьмя плоскостями разрезать куб с ребром 1 на части так, чтобы для каждой из частей расстояние между любыми двумя её точками было:
  а) меньше ⁴/₅;
  б) меньше ⁴/₇?
Предполагается, что все плоскости проводятся одновременно, куб и его части не двигаются.

Прислать комментарий

Решение

На ребре $AD$ и диагонали $A_1C$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взяты соответственно точки $M$ и $N$, причём прямая $MN$ параллельна плоскости $BDC_1$ и $AM:AD = 1:5$. Найдите отношение $CN:CA_1$.

Прислать комментарий

Решение

В куб ABCDA1B1C1D1 со стороной 1 вписана сфера. Точка E расположена на ребре CC1 , причём C1E = . Из точки E проведена касательная к сфере, пересекающая грань куба AA1D1D в точке K , причём KEC = arccos . Найдите KE .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 349]