Страница:
<< 14 15 16 17
18 19 20 >> [Всего задач: 144]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
При каких натуральных n найдутся такие положительные рациональные, но не целые числа a и b, что оба числа a + b и an + bn – целые?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Последовательность
(
an)
задана условиями
a1= 1000000
,
an+1
=n[
]
+n . Докажите, что в ней можно выделить бесконечную подпоследовательность, являющуюся арифметической прогрессией.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Пусть a, b – натуральные числа и (a, b) = 1. Докажите, что величина 
не может быть действительным
числом за исключением случаев
(a, b) = (1, 1), (1,3), (3,1).
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
Пусть A и B – два прямоугольника. Из прямоугольников, равных A, сложили прямоугольник, подобный B.
Докажите, что из прямоугольников, равных B, можно сложить прямоугольник, подобный A.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Преподаватель выставил оценки по шкале от 0 до 100. В учебной части могут менять верхнюю границу шкалы на любое другое натуральное число, пересчитывая оценки пропорционально и округляя до целых. Нецелое число при округлении меняется до ближайшего целого; если дробная часть равна 0,5, направление округления учебная часть может выбирать любое, отдельно для каждой оценки. (Например, оценка 37 по шкале 100 после пересчета в шкалу 40 перейдёт в 37·40/100 = 14,8 и будет округлена до 15.)
Студенты Петя и Вася получили оценки a и b, отличные от 0 и 100. Докажите, что учебная часть может сделать несколько пересчётов так, чтобы у Пети стала оценка b, а у Васи – оценка a (пересчитываются одновременно обе оценки).
Страница:
<< 14 15 16 17
18 19 20 >> [Всего задач: 144]
Фильтр
