Версия для печати
Убрать все задачи

---

Прямая l делит площадь выпуклого многоугольника пополам. Докажите, что эта прямая делит проекцию данного многоугольника на прямую, перпендикулярную l, в отношении, не превосходящем  1 + .

   Решение

---

Можно ли вписать в окружность выпуклый семиугольник A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇ с углами A₁ = 140^o, A₂ = 120^o, A₃ = 130^o, A₄ = 120^o, A₅ = 130^o, A₆ = 110^o, A₇ = 150^o?

   Решение

---

Дана прямая a и два непараллельных отрезка AB и CD по одну сторону от неё. Найти на прямой a такую точку M, чтобы треугольники ABM и CDM были равновелики.

   Решение

---

Дано натуральное число $n$. Для произвольного числа $x$ рассмотрим сумму $$ Q(x)=\lfloor x\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{4}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{x}{10^{n}}\right\rfloor . $$ Найдите разность $Q\left(10^{n}\right)-Q\left(10^{n}-1\right)$. (Здесь $\lfloor x\rfloor$ обозначает целую часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)

   Решение

---

Два автобуса ехали навстречу друг другу с постоянными скоростями. Первый выехал из Москвы в 11 часов утра и прибыл в Ярославль в 16 часов, а второй выехал из Ярославля в 12 часов и прибыл в Москву в 17 часов. В котором часу они встретились?

   Решение

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 144]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 107838

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Показательные функции и логарифмы (прочее) ] [ Последовательности (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Рассмотрим степени пятерки: 1, 5, 25, 125, 625, ... Образуем последовательность их первых цифр: 1, 5, 2, 1, 6, ...
Докажите, что любой кусок этой последовательности, записанный в обратном порядке, встретится в последовательности первых цифр степеней двойки  (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, ...).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109509

Темы:   [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Найдите все функции f(x) , определенные при всех положительных x , принимающие положительные значения и удовлетворяющие при любых положительных x и y равенству f(x^y)=f(x)^f(y) .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111829

Темы:   [ Метод спуска ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Обыкновенные дроби ] [ Рекуррентные соотношения ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

В бесконечной последовательности  (x_n)  первый член x₁ – рациональное число, большее 1, и  x_n+1 = x_n + ¹/_[xn]  при всех натуральных n.
Докажите, что в этой последовательности есть целое число.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55621  [Первая задача о бильярде]

Темы:   [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Дан прямоугольный бильярд со сторонами 1 и . Из его угла под углом 45^o к стороне выпущен шар. Попадет ли он когда-нибудь в лузу? (Лузы находятся в углах бильярда).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58299

Темы:   [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Пусть n3. Существуют ли n точек, не лежащих на одной прямой, попарные расстояния между которыми иррациональны, а площади всех треугольников с вершинами в них рациональны?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 144]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями