Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 13]

Задача 109533

Темы:	[	Кубические многочлены	]
	[	Теорема о промежуточном значении. Связность	]
	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Производная и экстремумы	]
	[	Многочлен нечетной степени имеет действительный корень	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Сергеев И.Н.

На доске написано: x³ + ...x² + ...x + ... = 0. Два школьника по очереди вписывают вместо многоточий действительные числа. Цель первого – получить уравнение, имеющее ровно один действительный корень. Сможет ли второй ему помешать?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61034

Темы:	[	Симметрические многочлены	]
	[	Кубические многочлены	]
	[	Формулы сокращенного умножения (прочее)	]
	[	Методы решения задач с параметром	]
	[	Производная и экстремумы	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Найдите все значения параметра a, при которых корни x₁, x₂, x₃ многочлена x³ – 6x² + ax + a удовлетворяют равенству
(x₁ – 3)³ + (x₂ – 3)³ + (x₃ – 3)³ = 0.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61252

Темы:	[	Кубические многочлены	]
	[	Графики и ГМТ на координатной плоскости	]
	[	Перенос помогает решить задачу	]
	[	Многочлен нечетной степени имеет действительный корень	]
	[	Возрастание и убывание. Исследование функций	]
	[	Производная и экстремумы	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Докажите, что
а) при p ≥ 0 график многочлена x³ + px + q пересекает каждую горизонтальную прямую ровно в одной точке;
б) при p < 0 график пересекает некоторые горизонтальные прямые в трёх точках;
в) при p < 0 график имеет один минимум и один максимум;
г) абсциссы точек минимума и максимума противоположны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 13]