Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 79]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78619

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Уравнения в целых числах ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Обозначим через d(N) число делителей N (числа 1 и N также считаются делителями). Найти все такие N, что число  P =   – простое.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66840

Темы:   [ Функция Эйлера ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Формула включения-исключения ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Некоторые из чисел 1, 2, 3, ..., $n$ покрашены в красный цвет так, что выполняется условие: если для красных чисел $a, b, c$ (не обязательно различных)  $a(b - c)$  делится на $n$, то  $b = c$.
Докажите, что красных чисел не больше чем φ($n$).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60549

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ] [ Ряды (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 11

Может ли быть так, что   а)  σ(n) > 3n;   б)  σ(n) > 100n?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116778

Темы:   [ Арифметические функции (прочее) ] [ Произведения и факториалы ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Для натурального n обозначим  S_n = 1! + 2! + ... + n!.  Докажите, что при некотором n у числа S_n есть простой делитель, больший 10²⁰¹².

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60802

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ] [ Рациональные функции (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Докажите, что если n > 6 — четное совершенное число, то его цифровой корень равен 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 79]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями