Выбрано 13 задач 
Убрать все задачи
Проведена окружность S с центром в вершине C равнобедренного треугольника ABC ( AC=BC ). Радиус окружности меньше AC . Найдите на этой окружности такую точку P , чтобы касательная к окружности, проведённая в этой точке, делила пополам угол APB .
В треугольник ABC со сторонами AB = 6, BC = 5, AC = 7 вписан квадрат, две вершины которого лежат на стороне AC, одна на стороне AB и одна на стороне BC. Через середину D стороны AC и центр квадрата проведена прямая, которая пересекается с высотой BH в точке M. Найдите площадь треугольника DMC.
В трапеции ABCD с меньшим основанием BC и
площадью, равной 4, прямые BC и AD касаются
окружности диаметром 2 в точках B и D
соответственно. Боковые стороны трапеции AB и
CD пересекают окружность в точках M и N
соответственно. Длина MN равна . Найдите величину
угла MBN и длину основания AD .
Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Найдите её длину, если
BC = CE, площадь треугольника ADE равна площади треугольника CDE,
площадь треугольника ABC равна площади треугольника BCD, а
3AC + 2BD = 5.
В описанном пятиугольнике ABCDE диагонали AD и CE пересекаются в центре O вписанной окружности.
Докажите, что отрезок BO и сторона DE перпендикулярны.
В трапеции ABCD с большим основанием BC и
площадью, равной 4 , прямые BC и AD касаются
окружности диаметром 2 в точках B и D
соответственно. Боковые стороны трапеции AB и
CD пересекают окружность в точках M и N
соответственно. Длина MN равна
. Найдите величину
угла MDN и длину основания BC .
Докажите, что площадь правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна 3.
В стране 1993 города, и из каждого выходит не менее 93 дорог. Известно, что из каждого города можно проехать по дорогам в любой другой.
Докажите, что это можно сделать не более, чем с 62 пересадками. (Дорога соединяет между собой два города.)
Куб размером 3×3×3 состоит из 27 единичных кубиков. Можно ли побывать в каждом кубике по одному разу, двигаясь следующим образом: из кубика можно пройти в любой кубик, имеющий с ним общую грань, причём запрещено ходить два раза подряд в одном направлении?
На сторонах BC и CD ромба ABCD взяли точки P и Q соответственно так, что BP = CQ.
Докажите, что точка пересечения медиан треугольника APQ лежит на диагонали BD ромба.
В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) медианы AM и CN пересекаются в точке D под прямым углом. Найдите все углы треугольника ABC и площадь четырёхугольника NBMD, если основание AC = 1.
В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 грань ABCD – квадрат со стороной 5, ребро AA1 также равно 5, и это ребро образует с рёбрами AB и AD углы 60o . Найдите диагональ BD1 .
В выпуклом пятиугольнике ABCDE диагонали BE и CE являются биссектрисами углов при вершинах B и C соответственно, ∠A = 35°, ∠D = 145°, а площадь треугольника BCE равна 11. Найдите площадь пятиугольника ABCDE.
|
|
 |
Условие
В выпуклом пятиугольнике ABCDE диагонали BE и CE являются биссектрисами углов при вершинах B и C соответственно, ∠A = 35°, ∠D = 145°, а площадь треугольника BCE равна 11. Найдите площадь пятиугольника ABCDE.
Решение
Заметим, что углы BCE и CBE – острые (как половины внутренних углов выпуклого многоугольника). Поскольку углы при общей вершине C треугольников CDE и CBE равны, а
∠CDE > ∠CBE (один – тупой, второй – острый), то ∠CED < ∠CEB. Поэтому если от луча EC в полуплоскость, содержащую точку B, отложить луч под углом, равным углу CED, то отложенный луч будет лежать между сторонами угла CEB, а значит, будет пересекать отрезок BC в некоторой точке
M.
Треугольники CME и CDE равны по общей стороне EM и двум прилежащим к ней углам, а так как ∠BME = 180° – ∠CME = 180° – 145° = 35° = ∠BAE,
то равны также треугольники BME и BAE.
Следовательно, SABCDE = 2SBCE = 22.
Ответ
22.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 3882 |
