Выбрано 12 задач 
Убрать все задачи
Можно ли, применяя к числу 2 функции sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg, arcctg в любом количестве и в любом порядке, получить число 2010?
Пусть P(x) = (2x² – 2x + 1)17(3x² – 3x + 1)17. Найдите
a) сумму коэффициентов этого многочлена;
б) суммы коэффициентов при чётных и нечётных степенях x.
На плоскости проведено несколько прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Докажите, что в областях, на которые прямые поделили плоскость, можно расставить положительные числа так, чтобы суммы чисел по обе стороны каждой из проведённых прямых были равны.
Рассмотрим все натуральные числа, в десятичной записи которых участвуют лишь цифры 1 и 0. Разбейте эти числа на два непересекающихся подмножества так, чтобы сумма любых двух различных чисел из одного и того же подмножества содержала в своей десятичной записи не менее двух единиц.
С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, если дана одна его вершина и три прямых, на которых лежат его биссектрисы.
Можно ли найти восемь таких натуральных чисел, что ни одно из них не делится ни на какое другое, но квадрат любого из этих чисел делится на каждое из остальных?
По кругу расставлено девять чисел – четыре единицы и пять нулей. Каждую секунду над числами проделывают следующую операцию: между соседними числами ставят ноль, если они различны, и единицу, если они равны; после этого старые числа стирают.
Могут ли через некоторое время все числа стать одинаковыми?
Число N, не делящееся на 81, представимо в виде суммы квадратов трёх целых чисел, делящихся на 3.
Докажите, что оно также представимо в виде суммы квадратов трёх целых чисел, не делящихся на 3.
Докажите, что можно на каждом ребре произвольного тетраэдра записать по неотрицательному числу так, чтобы сумма чисел на сторонах каждой грани численно равнялась её площади.
В каждой клетке секретной таблицы n×n записана одна из цифр от 1 до 9. Из них получаются n-значные числа, записанные в строках слева направо и в столбцах сверху вниз. Петя хочет написать такое n-значное число без нулей в записи, чтобы ни это число, ни оно же, записанное задом наперед, не совпадало ни с одним из 2n чисел в строках и столбцах таблицы. В каком наименьшем количестве клеток Петя должен для этого узнать цифры?
Отличник Поликарп составил огромное число, выписав натуральные числа от 1 до 500: 123…1011…499500. Двоечник Колька стер у этого числа первые 500 цифр. Как Вы думаете, с какой цифры начинается оставшееся число?
Восстановите пример на умножение
|
|
 |
Условие
Восстановите пример на умножение
Решение
Пусть ШЕСТЬ = х, тогда ШЕСТЬ² − ШЕСТЬ = х(х − 1). Но разность ШЕСТЬ² − ШЕСТЬ оканчивается пятью нулями. Так как х и х − 1 – соседние числа, то одно из них делится на 32, а другое нечётно и делится на 3125 (100000 = 32·3125). Заметим, что вторая цифра числа (Е) равна нулю (смотрите схему умножения). Пятизначные числа, кратные 3125 и удовлетворяющие условию Е = 0, – это 40625 и 90625. Соседние с ними числа – это 40624 и 40626, 90624 и 90626. На 32 делится только 90624. Значит искомое число – 90624 или 90625. Первое не подходит, так как 4² не оканчивается на 4.
Ответ
ШЕСТЬ = 90625.
