Версия для печати
Убрать все задачи

---

На клетчатой бумаге выбраны три точки A, B, C, находящиеся в вершинах клеток. Докажите, что если треугольник ABC остроугольный, то внутри или на сторонах его есть по крайней мере еще одна вершина клетки.

   Решение

---

На сторонах произвольного выпуклого четырёхугольника внешним образом построены квадраты. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, равны и перпендикулярны.

   Решение

---

Постройте образ точки A при инверсии относительно окружности S с центром O.

   Решение

---

Стороны выпуклого пятиугольника ABCDE продолжили так, что образовалась пятиконечная звезда AHBKCLDMEN (рис.). Около треугольников — лучей звезды описали окружности. Докажите, что пять точек пересечения этих окружностей, отличных от A, B, C, D, E, лежат на одной окружности.

   Решение

---

Докажите, что окружность при осевой симметрии переходит в окружность.

   Решение

---

Докажите, что площадь любого выпуклого четырехугольника не превосходит полусуммы произведений противоположных сторон.

   Решение

---

а) Даны прямые a, b, c, d, проходящие через одну точку, и прямая l, через эту точку не проходящая. Пусть A, B, C, D — точки пересечения прямой l с прямыми a, b, c, d соответственно. Докажите, что (abcd )= (ABCD).
б) Докажите, что двойное отношение четверки точек сохраняется при проективных преобразованиях.

   Решение

---

Решая задачу:   "Какое значение принимает выражение  x²⁰⁰⁰ + x¹⁹⁹⁹ + x¹⁹⁹⁸ + 1000x¹⁰⁰⁰ + 1000x⁹⁹⁹ + 1000x⁹⁹⁸ + 2000x³ + 2000x² + 2000x + 3000
(x – действительное число), если  x² + x + 1 = 0?",  Вася получил ответ 3000. Прав ли Вася?

   Решение

---

Бильярдный стол имеет форму многоугольника (не обязательно выпуклого), у которого соседние стороны перпендикулярны друг другу. Вершины этого многоугольника – лузы, при попадании в которые шар там и остаётся. Из вершины A с (внутренним) углом 90° выпущен шар, который отражается от бортов (сторон многоугольника) по закону "угол падения равен углу отражения". Докажите, что он никогда не вернётся в вершину A.

   Решение

Темы:    [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Инварианты ] [ Произвольные многоугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Бильярдный стол имеет форму многоугольника (не обязательно выпуклого), у которого соседние стороны перпендикулярны друг другу. Вершины этого многоугольника – лузы, при попадании в которые шар там и остаётся. Из вершины A с (внутренним) углом 90° выпущен шар, который отражается от бортов (сторон многоугольника) по закону "угол падения равен углу отражения". Докажите, что он никогда не вернётся в вершину A.

Решение

  Если шар вылетит из A по стороне, он свалится в ближайшую лузу. Пусть шар вылетел под острым углом к стороне AB. Легко убедиться, что при отражении как от параллельной, так и от перпендикулярной к прямой AB стороны наименьший угол между AB и звеном траектории не меняется (см. рис.). Через точку A проходит две прямые под таким углом к AB, но только вдоль одной из них шар, вылетев из A, внутрь стола. Поэтому вернуться в A шар может только пройдя по стартовому звену в обратном направлении.

  Предположим, что это произошло. Мысленно проведём шар по тому же пути в обратном направлении. Этот путь, очевидно, также удовлетворяет законам отражения. Но путь шара полностью определяется начальным направлением. Следовательно "прямой" и "обратный" пути совпадают. Это значит, что в середине пути шар поменял направление движения на противоположное (то есть отскочил от стены под прямым углом). Но таких отскоков нет. Противоречие.

Замечания

1. 6 баллов.

2. Ср. с задачей 65409.

Источники и прецеденты использования