Выбрано 13 задач 
Убрать все задачи
На плоскости даны 16 точек (см. рисунок).
а) Покажите, что можно стереть не более восьми из них так, что из оставшихся никакие четыре не будут лежать в вершинах квадрата.
б) Покажите, что можно обойтись стиранием шести точек.
в) Найдите минимальное число точек, которые достаточно стереть для этого.
Дана бесконечная последовательность многочленов P1(x), P2(x), ... . Всегда ли существует конечный набор функций f1(x), f2(x), ..., fN(x), композициями которых можно записать любой из них (например, P1(x) = f2(f1(f2(x))))?
Даны две пересекающиеся окружности с центрами O1, O2. Постройте окружность, касающуюся одной из них внешним, а другой внутренним образом, центр которой удален от прямой O1O2 на наибольшее расстояние.
Разделим каждое четырёхзначное число на сумму его цифр. Какой самый большой результат может получиться?
В треугольнике ABC провели биссектрису CK, а в треугольнике BCK – биссектрису KL. Прямые AC и KL пересекаются в точке M. Известно, что
∠A > ∠C. Докажите, что AK + KC > AM.
Oпределите отношение сторон прямоугольника, описанного около уголка из пяти клеток.
На клетчатой бумаге отмечены четыре узла сетки, образующие квадрат 4*4. Отметьте ещё два узла и соедините их замкнутой ломаной так, чтобы получился шестиугольник (не обязательно выпуклый) площади 6 клеток.
На прозрачном столе стоит куб 3×3×3, составленный из 27 одинаковых кубиков. Со всех шести сторон (спереди, сзади, слева, справа, сверху, снизу) мы видим квадрат 3×3. Какое наибольшее число кубиков можно убрать так, чтобы со всех сторон был виден квадрат 3×3 и при этом оставшаяся система кубиков не разваливалась?
Город Нью-Васюки имеет форму квадрата со стороной 5 км. Улицы делят его на кварталы, являющиеся квадратами со стороной 200 м. Какую наибольшую площадь можно обойти, пройдя по улицам Нью-Васюков 10 км и вернувшись в исходную точку?
На электронных часах Казанского вокзала высвечиваются часы и минуты (например, 17:36). Сколько времени в течение суток на них
а) высвечивается цифра 2;
б) высвечиваются цифры 5 и 7 одновременно?
Серединный перпендикуляр к стороне BC
треугольника ABC пересекает сторону AB в точке D ,
а продолжение стороны AC за точку A – в точке E .
Докажите, что AD
Пусть a, b, c – стороны треугольника. Докажите неравенство a³ + b³ + 3abc > c³.
a и b – две данные стороны треугольника.
Как подобрать третью сторону c так, чтобы точки касания вписанной и вневписанной окружностей с этой стороной делили её на три равных отрезка?
При каких a и b такая сторона существует?
(Рассматривается вневписанная окружность, касающаяся стороны c и продолжений сторон a и b.)
|
|
 |
Условие
a и b – две данные стороны треугольника.
Как подобрать третью сторону c так, чтобы точки касания вписанной и вневписанной окружностей с этой стороной делили её на три равных отрезка?
При каких a и b такая сторона существует?
(Рассматривается вневписанная окружность, касающаяся стороны c и продолжений сторон a и b.)
Решение
Рассмотрим случай a < b. Пусть M и R – точки касания вписанной и вневписанной окружностей со стороной AB = c треугольника ABC. Как известно (см. задачу 55404), BM = AR = ½ (a + c – b).
Заметим, что BM < c/2 (так как a < b), то есть точка M лежит ближе к B, чем к A. Поэтому условие задачи сводится к равенству ½ (a + c – b) = c/3, которое легко приводится к виду c = 3(b – a).
Мы должны еще проверить неравенства треугольника c < a + b и b < a + c (третье выполняется автоматически). Второе из них приводится к виду
a < b и также выполнено автоматически, а первое – к виду b < 2a.
Случай a = b, очевидно, невозможен. Случай a > b "симметричен" разобранному: c = 3(a – b), условие разрешимости b < a < 2b.
Ответ
c = 3|a – b|, при b < a < 2b или a < b < 2a.
Замечания
3 балла
