Выбрано 6 задач 
Убрать все задачи
Клетчатая фигура Ф обладает таким свойством: при любом заполнении клеток прямоугольника m×n числами, сумма которых положительна, фигуру Ф можно так расположить в прямоугольнике, чтобы сумма чисел в клетках прямоугольника, накрытых фигурой Ф, была положительна (фигуру Ф можно поворачивать). Докажите, что данный прямоугольник может быть покрыт фигурой Ф в несколько слоев.
Существуют ли 1998 различных натуральных чисел, произведение каждых двух из которых делится нацело на квадрат их разности?
Али-Баба стоит с большим мешком монет в углу пустой прямоугольной пещеры размером m×n клеток, раскрашенных в шахматном порядке. Из любой клетки он может сделать шаг в любую из четырёх соседних клеток (вверх, вниз, вправо или влево). При этом он должен либо положить одну монету в этой клетке, либо забрать из неё одну монету, если, конечно, она не пуста. Может ли после прогулки Али-Бабы по пещере оказаться, что на чёрных клетках лежит ровно по одной монете, а на белых монет нет?
В квадрате 6×6 отмечают несколько клеток так, что из любой отмеченной можно пройти в любую другую отмеченную, переходя только через общие стороны отмеченных клеток. Отмеченную клетку называют концевой, если она граничит по стороне ровно с одной отмеченной. Отметьте несколько клеток так, чтобы получилось а) 10, б) 11, в) 12 концевых клеток.
На отрезке [0, 1] отмечено несколько различных точек. При этом каждая отмеченная точка расположена либо ровно посередине между двумя другими отмеченными точками (не обязательно соседними с ней), либо ровно посередине между отмеченной точкой и концом отрезка. Докажите, что все отмеченные точки рациональны.
Точка O лежит внутри ромба ABCD . Угол DAB равен 110o . Углы AOD и BOC равны 80o и 100o соответственно. Чему может быть равен угол AOB ?
|
|
 |
Условие
Точка O лежит внутри ромба ABCD . Угол DAB
равен 110o . Углы AOD и BOC равны
80o и 100o соответственно. Чему
может быть равен угол AOB ?
Решение
Заметим, что геометрическое место точек O , из которых
отрезок AD виден под углом 80o , и лежащих по
ту же сторону от AD , что и точка B , – это дуга
окружности, проходящей через точки A и D , а
геометрическое место точек O , из которых
отрезок BC виден под углом 100o , и лежащих по
ту же сторону от BC , что и точка A , – это дуга
окружности, проходящей через точки B и C . Искомая
точка O должна лежать на пересечении этих двух дуг.
Следовательно, таких точек может быть не более двух.
Укажем две точки, удовлетворяющие условию задачи.
Первая точка O1 лежит на диагонали AC , причём
BO1C = 100o . Тогда
а т.к. точка D симметрична точке B относительно прямой AC , то
что и требуется в условии. Аналогично, вторая точка O2 лежит на диагонали BD , причём
Ответ
80o или 100o .
