Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 10 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Сергеев И.Н.

Когда из бассейна сливают воду, уровень h воды в нём меняется в зависимости от времени t по закону

h(t)=at2+bt+c,

а в момент t0 окончания слива выполнены равенства h(t0)=h'(t0)=0 . За сколько часов вода из бассейна сливается полностью, если за первый час уровень воды в нём уменьшается вдвое?

Вниз   Решение

В остроугольном треугольнике KLN высоты пересекаются в точке H, а медианы — в точке O. Биссектриса угла K пересекает отрезок OH в такой точке M, что OM : MH = 3 : 1. Найдите площадь треугольника KLN, если LN = 4, а разность углов L и N равна 30o.

ВверхВниз   Решение

Доказать, что выражение

+

равно 2, если 1<= a <= 2 , и равно 2 , если a>2 .

ВверхВниз   Решение

Авторы: Шаповалов А.В., Доценко В.В.

Из имеющихся последовательностей {bn} и {cn} (возможно, {bn} совпадает с {cn})  разрешается получать последовательности  {bn + cn},
{bn – cn},  {bncn}  и  {bn/cn}  (если все члены последовательности {cn} отличны от 0). Кроме того, из любой имеющейся последовательности можно получить новую, вычеркнув несколько начальных членов. Сначала есть только последовательность {an}. Можно ли получить из неё описанными выше операциями последовательность {n}, то есть 1, 2, 3, 4, ..., если
  а)  an = n²;

  б)  

  в)  

ВверхВниз   Решение

Автор: Фольклор

Существуют ли такие значения a и b, при которых уравнение   х4 – 4х3 + 6х² + aх + b = 0  имеет четыре различных действительных корня?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке {(точка Нагеля))

ВверхВниз   Решение

Петя тратит ⅓ своего времени на игру в футбол, ⅕ – на учебу в школе, ⅙ – на просмотр кинофильмов, 1/70 – на решение олимпиадных задач и ⅓ – на сон. Можно ли так жить?

ВверхВниз   Решение

Авторы: Спивак А.В., Хачатурян А.В.

Докажите, что на графике функции  y = x³ можно отметить такую точку A, а на графике функции  y = x³ + |x| + 1  – такую точку B, что расстояние AB не превышает 1/100.

ВверхВниз   Решение

Автор: Петров Ф.

Для натурального n обозначим  Sn = 1! + 2! + ... + n!.  Докажите, что при некотором n у числа Sn есть простой делитель, больший 102012.

ВверхВниз   Решение

В остроугольном треугольнике ABC высоты пересекаются в точке H, а медианы — в точке O. Биссектриса угла A проходит через середину отрезка OH. Найдите площадь треугольника ABC, если BC = 2, а разность углов B и C равна 30o.

Вверх   Решение

Задача 108487
Темы:    [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
[ Теорема синусов ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
 Из корзины
Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC высоты пересекаются в точке H, а медианы — в точке O. Биссектриса угла A проходит через середину отрезка OH. Найдите площадь треугольника ABC, если BC = 2, а разность углов B и C равна 30o.


Подсказка

Точка пересечения высот, точка пересечения медиан и центр описанной окружности треугольника лежат на одной прямой (прямая Эйлера). Далее примените теорему синусов.


Решение

Известно, что расстояние от точки пересечения высот треугольника до его вершины вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до стороны, противолежащей этой вершине.

Пусть Q — центр окружности, описанной около треугольника ABC, M — середина стороны BC. Тогда AH = 2QM. Если прямая QH пересекает медиану AM в точке O', то из подобия треугольников AO'H и MO'Q следует, что AO' : O'M = AH : QM = 2 : 1, значит, точка O' совпадает с точкой O пересечения медиан треугольника ABC. Таким образом, доказано, что точки H, O и Q лежат на одной прямой (прямая Эйлера), причём точка O раположена на отрезке QH и OH = 2OQ.

Если K — середина OH, то HK = KO = OQ.

Продолжим биссектрису треугольника, проведённую из вершины A, до пересечения в точке P с описанной окружностью треугольника ABC. Тогда P — середина дуги BC, не содержащей точки A. Значит, PM — серединный перпендикуляр к стороне BC. Поэтому прямая PM проходит через точку Q.

Пусть R — радиус окружности. Обозначим QM = x. Тогда AH = 2x. Из подобия треугольников PKQ и AKH находим, что R = QP = AH . $ {\frac{QK}{KH}}$ = 2AH = 4x. Тогда QC = R = 4x.

Применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику QMC, получим уравнение

QC2 = QM2 + CM2, или 16x2 = x2 + 1,

откуда x = $ {\frac{1}{\sqrt{15}}}$. Тогда R = 4x = $ {\frac{4}{\sqrt{15}}}$.

Обозначим $ \angle$BAC = $ \alpha$, $ \angle$ABC = $ \beta$, $ \angle$ACB = $ \gamma$. Пусть $ \beta$ - $ \gamma$ = 30o. По теореме синусов

sin$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{BC}{2R}}$ = $\displaystyle {\frac{2}{2\cdot \frac{4}{\sqrt{15}}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{15}}{4}}$, AC = 2R sin$\displaystyle \beta$, AB = 2R sin$\displaystyle \gamma$.

Следовательно,

S$\scriptstyle \Delta$ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . AC . AB . sin$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . 2R sin$\displaystyle \beta$ . 2R sin$\displaystyle \gamma$ . sin$\displaystyle \alpha$ =

= 2R2sin$\displaystyle \beta$sin$\displaystyle \gamma$sin$\displaystyle \alpha$ = 2 . $\displaystyle {\textstyle\frac{16}{15}}$ . sin$\displaystyle \alpha$sin$\displaystyle \beta$sin$\displaystyle \gamma$ =

= 2 . $\displaystyle {\textstyle\frac{16}{15}}$ . sin$\displaystyle \alpha$ . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(cos($\displaystyle \beta$ - $\displaystyle \gamma$) - cos($\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \gamma$)) = $\displaystyle {\textstyle\frac{16}{15}}$ . $\displaystyle {\frac{\sqrt{15}}{4}}$ . (cos 30o - cos(180o - $\displaystyle \alpha$)) =

= $\displaystyle {\frac{4}{\sqrt{15}}}$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\sqrt{3}}{2}+\cos \alpha}\right.$$\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ + cos$\displaystyle \alpha$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\sqrt{3}}{2}+\cos \alpha}\right)$ = $\displaystyle {\frac{4}{\sqrt{15}}}$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{1-\frac{15}{16}}}\right.$$\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ + $\displaystyle \sqrt{1-\frac{15}{16}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{1-\frac{15}{16}}}\right)$ = $\displaystyle {\frac{4}{\sqrt{15}}}$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{4} }\right.$$\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{4} }\right)$ = $\displaystyle {\frac{2\sqrt{3}+1}{\sqrt{15}}}$.


Ответ

$ {\frac{2\sqrt{3}+1}{\sqrt{15}}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3972
© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .