Версия для печати
Убрать все задачи

---

Провести хорду данной окружности, параллельную данному диаметру, так, чтобы эта хорда и диаметр были основаниями трапеций с наибольшим периметром.

   Решение

---

Решите систему уравнений:
    xy(x + y) = 30
    x³ + y³ = 35.

   Решение

---

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках M и N. Докажите, что если вершины A и C некоторого прямоугольника ABCD лежат на окружности S₁, а вершины B и D – на окружности S₂, то точка пересечения диагоналей прямоугольника лежит на прямой MN.

   Решение

---

Боковая грань образует с плоскостью основания правильной шестиугольной пирамиды угол 60^o . Найдите угол бокового ребра с плоскостью основания.

   Решение

---

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна , а угол боковой грани с плоскостью основания равен 60^o . Найдите объём пирамиды.

   Решение

---

Какое наибольшее конечное число корней может иметь уравнение

|x-a₁|+..+|x-a50|=|x-b₁|+..+|x-b50|,
где a₁ , a₂ , a50 , b₁ , b₂ , b50 – различные числа?

   Решение

---

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна , а угол боковой грани с плоскостью основания равен 60^o . Найдите площадь сечения, проведённого через вершину пирамиды и меньшую диагональ основания.

   Решение

---

На доске выписано  (n – 1)n  выражений:   x₁ – x₂,  x₁ – x₃,  ...,  x₁ – x_n,  x₂ – x₁,  x₂ – x₃,  ...,  x₂ – x_n,  ...,  x_n – x_n–1,   где  n ≥  3.  Лёша записал в тетрадь все эти выражения, их суммы по два различных, по три различных и т. д. вплоть до суммы всех выражений. При этом Лёша во всех выписываемых суммах приводил подобные слагаемые (например, вместо  (x₁ – x₂) + (x₂ – x₃)  Лёша запишет  x₁ – x₃,  а вместо  (x₁ – x₂) + (x₂ – x₁)  он запишет 0).
Сколько выражений Лёша записал в тетрадь ровно по одному разу?

   Решение

---

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны a . Найдите радиус вписанной сферы.

   Решение

---

Найдите угол между гранями правильного тетраэдра.

   Решение

Темы:    [ Правильный тетраэдр ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Найдите угол между гранями правильного тетраэдра.

Решение

Пусть ABCD – правильный тетраэдр с ребром a , M – центр грани ABC , L – середина BC . Поскольку DL BC и LM BC , линейный угол искомого двугранного угла между плоскостями ABC и DBC – это угол DLM . Обозначим его β . Так как DM – высота тетраэдра, то треугольник DLM – прямоугольный. В нём известно, что DL = , LM= . Следовательно,

cos β = cos DLM = = = .

Ответ

arccos .

Источники и прецеденты использования