Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 14 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Фольклор

В тетраэдре ABCD плоские углы BAD и BCD – тупые. Сравните длины ребер AC и BD.

Вниз   Решение


Докажите, что стороны любого неравнобедренного треугольника можно либо все увеличить, либо все уменьшить на одну и ту же величину так, чтобы получился прямоугольный треугольник.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что из всех треугольников данного периметра 2p равносторонний имеет наибольшую плошадь.

ВверхВниз   Решение


Рассматриваются такие квадратичные функции  f(x) = ax² + bx + c,  что  a < b  и  f(x) ≥ 0  для всех x.
Какое наименьшее значение может принимать выражение  a+b+c/b–a ?

ВверхВниз   Решение


Пусть a, b, c – положительные числа, сумма которых равна 1. Докажите неравенство:  

ВверхВниз   Решение


В равнобочной трапеции ABCD угол при основании AD равен arcsin . Окружность радиуса R касается основания AD , боковой стороны AB и проходит через вершину C . Она отсекает на сторонах BC и CD отрезки MC и NC соответственно. Найдите BM .

ВверхВниз   Решение


Внутри каждой грани единичного куба выбрали по точке. Затем каждые две точки, лежащие на соседних гранях, соединили отрезком.
Докажите, что сумма длин этих отрезков не меньше, чем    .

ВверхВниз   Решение


Точка K – середина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС. На катетах АС и ВС выбраны точки М и N соответственно так, что угол МKN – прямой. Докажите, что из отрезков АМ, ВN и MN можно составить прямоугольный треугольник.

ВверхВниз   Решение


В данную окружность вписать прямоугольник так, чтобы две данные точки внутри окружности лежали на сторонах прямоугольника.

ВверхВниз   Решение


Автор: Ботин Д.А.

Можно ли из 13 кирпичей 1×1×2 сложить куб 3×3×3 с дыркой 1×1×1 в центре?

ВверхВниз   Решение


В 100 ящиках лежат яблоки, апельсины и бананы. Докажите, что можно так выбрать 51 ящик, что в них окажется не менее половины всех яблок, не менее половины всех апельсинов и не менее половины всех бананов.

ВверхВниз   Решение


Из точки D окружности S опущен перпендикуляр DC на диаметр AB . Окружность S1 касается отрезка CA в точке E , а также отрезка CD и окружности S . Докажите, что DE — биссектриса треугольника ADC .

ВверхВниз   Решение


Хорда AB разбивает окружность S на две дуги. Окружность S1 касается хорды AB в точке M и одной из дуг в точке N . Докажите, что а) прямая MN проходит через середину P второй дуги; б) длина касательной PQ к окружности S1 равна PA .

ВверхВниз   Решение


Середину более длинной боковой стороны прямоугольной трапеции соединили с вершинами трапеции. При этом трапеция разделилась на три равнобедренных треугольника. Найдите величину острого угла трапеции.

Вверх   Решение

Задача 109464
Темы:    [ Средняя линия трапеции ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
Из корзины
Прислать комментарий

Условие

Середину более длинной боковой стороны прямоугольной трапеции соединили с вершинами трапеции. При этом трапеция разделилась на три равнобедренных треугольника. Найдите величину острого угла трапеции.


Решение

  Пусть ABCD – данная трапеция, AD и BC – ее основания  (AD > BC),  ABAD.  Тогда  CD > AB  (см. рис.). Пусть M – середина CD, а MN – средняя линия трапеции. Тогда  MNAB,  поэтому в треугольнике AMB высота совпадает с медианой, следовательно,  AM = MB.  Пусть  ∠MBC = α.  Так как треугольник BCM – равнобедренный, а угол BCM – тупой, то  BC = CM = MD.  Поскольку треугольник AMD – равнобедренный и  AD > BC,  то  AD = AM.
  ∠MAD = 90° – ∠MAB = 90° – ∠MBA = α, ∠BCM = 180° – 2α, ∠ADM = 90° – α/2.  Так как  ∠BCM + ∠ADM = 180°,  то  180° – 2α + 90° – α/2 = 180°,  откуда
α = 36°,  а  ∠ADC = 72°.


Ответ

72°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Дата 2007
класс
Класс 8
задача
Номер 3
web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4682

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .