Выбрано 10 задач 
Убрать все задачи
На плоскости дано конечное множество точек X и правильный треугольник T . Известно, что любое подмножество X' множества X , состоящее из не более 9 точек, можно покрыть двумя параллельными переносами треугольника T . Докажите, что все множество X можно покрыть двумя параллельными переносами T .
2002 год — год-палиндром, то есть одинаково читается справа налево и слева направо. Предыдущий год-палиндром был 11 лет назад (1991). Какое максимальное число годов-непалиндромов может идти подряд (между 1000 и 9999 годами)?
В прямоугольник вписан четырёхугольник (на каждой стороне прямоугольника по
одной вершине четырёхугольника).
Докажите, что периметр четырёхугольника не меньше удвоенной диагонали прямоугольника.
В параллелограмме ABCD на диагонали AC отмечена точка K . Окружность s1 проходит через точку K и касается прямых AB и AD , причём вторая точка пересечения s1 с диагональю AC лежит на отрезке AK . Окружность s2 проходит через точку K и касается прямых CB и CD , причём вторая точка пересечения s2 с диагональю AC лежит на отрезке KC . Докажите, что при всех положениях точки K на диагонали AC прямые, соединяющие центры окружностей s1 и s2 , будут параллельны между собой.
Еще Архимед знал, что шар занимает ровно объема цилиндра, в который он вписан (шар касается стенок, дна и крышки цилиндра). В цилиндрической упаковке находятся 5 стоящих друг на друге шаров. Найдите отношение пустого места к занятому в этой упаковке.
При каких n > 3 правильный n-угольник можно разрезать диагоналями (возможно, пересекающимися внутри него) на равные треугольники?
На доске написано n выражений вида *x² + *x + * = 0 (n – нечетное число). Двое играют в такую игру. Ходят по очереди. За ход разрешается заменить одну из звёздочек числом, не равным нулю. Через 3n ходов получится n квадратных уравнений. Первый игрок стремится к тому, чтобы как можно большее число этих уравнений не имело корней, а второй хочет ему помешать. Какое наибольшее число уравнений, не имеющих корней, может получить первый игрок независимо от игры второго?
В круглый бокал, осевое сечение которого — график функции y = x4, опускают
вишенку — шар радиуса r. При каком наибольшем r шар коснется нижней
точки дна? (Другими словами, каков максимальный радиус r круга, лежащего в
области yx4 и содержащего начало координат?)
Назовём десятизначное число интересным, если оно делится на 11111 и все его цифры различны. Сколько существует интересных чисел?
На плоскости рассматривается конечное множество равных, параллельно расположенных квадратов, причем среди любых k+1 квадратов найдутся два пересекающихся. Докажите, что это множество можно разбить не более чем на 2k-1 непустых подмножеств так, что в каждом подмножестве все квадраты будут иметь общую точку.
|
|
 |
Условие
На плоскости рассматривается конечное множество равных, параллельно расположенных квадратов, причем
среди любых k+1 квадратов найдутся два пересекающихся. Докажите, что это множество можно разбить
не более чем на 2k-1 непустых подмножеств так, что в каждом подмножестве все квадраты будут иметь общую точку.
Решение
Доказательство проведем по индукции. Пусть k=1 . Тогда 2k-1=1 , т.е. нужно доказать, что каждые два квадрата имеют общую точку. Проведем самую правую и самую левую вертикальные прямые, а также самую верхнюю и самую нижнюю горизонтальные прямые, содержащие стороны квадратов. Эти четыре прямые образуют прямоугольник со сторонами длины не более 2a , где a – длина стороны квадрата (если бы длина какой-то стороны была больше 2a , то квадраты, примыкающие к смежным с ней сторонам прямоугольника, не пересекались бы). Следовательно, все квадраты содержат центр прямоугольника, т.е. имеют общую точку. Предположим, что утверждение доказано для k=n-1 . Выберем самый левый квадрат K0 (или один из них, если их несколько) и разобьем все множество квадратов на два подмножества M1 и M2 . В M1 содержатся квадраты, пересекающиеся с квадратом K0 , в M2 – не пересекающиеся с ним. Множество M1 , в свою очередь, разобьем на два подмножества: первое составляют квадраты, содержащие правую верхнюю вершину K0 , второе – квадраты, содержащие правую нижнюю вершину K0 . Множество M2 содержит не более n-1 попарно непересекающихся квадратов (так как K0 не пересекается с квадратами из M2 ), поэтому, по предположению индукции, M2 можно разбить не более чем на 2(n-1)-1 подмножеств, в каждом из которых квадраты имеют общую точку. Так как множество M1 разбито на 2 требуемых подмножества, то исходное множество разбивается не более чем на 2+2(n-1)-1=2n-1 искомых подмножеств.
