Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
Можно ли вычеркнуть из произведения 1!·2!·3!·...·100! один из факториалов так, чтобы произведение оставшихся было квадратом целого числа?
Может ли вершина параболы у = 4х² – 4(а + 1)х + а лежать во второй координатной четверти при каком-нибудь значении а?
Дан прямоугольный треугольник (см. рисунок). Приложите к нему какой-нибудь треугольник (эти треугольники должны иметь общую сторону, но не должны перекрываться даже частично) так, чтобы получился треугольник с двумя равными сторонами.
В стране, дома жителей которой представляют собой точки плоскости, действуют два закона:
1. Человек может играть в баскетбол, лишь если он выше ростом большинства своих соседей.
2. Человек имеет право на бесплатный проезд в транспорте, лишь если он ниже ростом большинства своих соседей.
В каждом законе соседями человека считаются все люди, живущие в круге
некоторого радиуса с центром в доме этого человека. При этом каждый человек сам
выбирает себе радиус для первого закона и радиус (не обязательно такой же) для
второго закона. Может ли в этой стране не менее 90% людей играть в баскетбол и
не менее 90% людей иметь право на бесплатный проезд в транспорте?
Члены Государственной Думы образовали фракции так,
что для любых двух фракций A и B (не обязательно различных)
– тоже фракция (через
обозначается множество всех членов Думы, не входящих в C ).
Докажите, что для любых двух фракций A и B A
B –
также фракция.
Девять лыжников ушли со старта по очереди и прошли дистанцию – каждый со своей постоянной скоростью. Могло ли оказаться, что каждый лыжник участвовал ровно в четырёх обгонах? (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника – тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.)
Можно ли во всех точках плоскости с целыми координатами записать натуральные числа так, чтобы три точки с целыми координатами лежали на одной прямой тогда и только тогда, когда записанные в них числа имели общий делитель, больший единицы?
|
|
 |
Условие
Можно ли во всех точках плоскости с целыми координатами записать натуральные числа так, чтобы три точки с целыми координатами лежали на одной прямой тогда и только тогда, когда записанные в них числа имели общий делитель, больший единицы?
Решение
Предположим, что это удалось. Рассмотрим некоторую точку A с целыми координатами, пусть в ней записано число a. Пусть a имеет n различных простых делителей. Возьмём на плоскости точку A1 с целыми координатами. На прямой AA1
имеется точка B1 также с целыми координатами (например, точка, симметричная точке A относительно A1).
Поскольку числа, записанные в точках A, A1 и B1, имеют общий делитель, больший 1, они (и, в частности,
число a) делятся на некоторое простое число p1.
Возьмём на плоскости точку A2 с целыми координатами, не лежащую на прямой AA1. На прямой AA2 имеется точка B2 с целыми координатами. Числа, записанные в
точках A, A2 и B2 (в частности, число a) делятся на некоторое простое число p2. Заметим, что p1 ≠ p2, ибо в противном случае числа, записанные в точках A, A1 и A2, имели бы общий делитель, что невозможно.
Продолжая эту процедуру далее, построим прямые AA3, AA4, ..., AAn+1, каждой из которых соответствует новый простой делитель числа a. Таким образом, число a имеет более n различных простых делителей. Противоречие.
Ответ
Нельзя.
