Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 11 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Фольклор

В тетраэдре ABCD плоские углы BAD и BCD – тупые. Сравните длины ребер AC и BD.

Вниз   Решение


Докажите, что стороны любого неравнобедренного треугольника можно либо все увеличить, либо все уменьшить на одну и ту же величину так, чтобы получился прямоугольный треугольник.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что из всех треугольников данного периметра 2p равносторонний имеет наибольшую плошадь.

ВверхВниз   Решение


Рассматриваются такие квадратичные функции  f(x) = ax² + bx + c,  что  a < b  и  f(x) ≥ 0  для всех x.
Какое наименьшее значение может принимать выражение  a+b+c/b–a ?

ВверхВниз   Решение


Пусть a, b, c – положительные числа, сумма которых равна 1. Докажите неравенство:  

ВверхВниз   Решение


В равнобочной трапеции ABCD угол при основании AD равен arcsin . Окружность радиуса R касается основания AD , боковой стороны AB и проходит через вершину C . Она отсекает на сторонах BC и CD отрезки MC и NC соответственно. Найдите BM .

ВверхВниз   Решение


Внутри каждой грани единичного куба выбрали по точке. Затем каждые две точки, лежащие на соседних гранях, соединили отрезком.
Докажите, что сумма длин этих отрезков не меньше, чем    .

ВверхВниз   Решение


Точка K – середина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС. На катетах АС и ВС выбраны точки М и N соответственно так, что угол МKN – прямой. Докажите, что из отрезков АМ, ВN и MN можно составить прямоугольный треугольник.

ВверхВниз   Решение


В данную окружность вписать прямоугольник так, чтобы две данные точки внутри окружности лежали на сторонах прямоугольника.

ВверхВниз   Решение


Автор: Ботин Д.А.

Можно ли из 13 кирпичей 1×1×2 сложить куб 3×3×3 с дыркой 1×1×1 в центре?

ВверхВниз   Решение


В 100 ящиках лежат яблоки, апельсины и бананы. Докажите, что можно так выбрать 51 ящик, что в них окажется не менее половины всех яблок, не менее половины всех апельсинов и не менее половины всех бананов.

Вверх   Решение

Задача 110178
Темы:    [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Полуинварианты ]
[ Процессы и операции ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
Сложность: 6-
Классы: 9,10,11
Из корзины
Прислать комментарий

Условие

В 100 ящиках лежат яблоки, апельсины и бананы. Докажите, что можно так выбрать 51 ящик, что в них окажется не менее половины всех яблок, не менее половины всех апельсинов и не менее половины всех бананов.


Решение

  Лемма. Любые 2n пар положительных чисел  (ai, bi)  можно так разбить на две группы по n пар в каждой, что сумма ai  в первой группе отличается от суммы ai  во второй группе не более, чем на максимальное ai, и сумма bi  в первой группе отличается от суммы bi  во второй группе не более, чем на максимальное bi.
  Доказательство. Упорядочим пары по убыванию ai. Назовём пары с номерами  2i – 1  и 2i двойкой. Заметим, что если разбить пары на две группы так, что пары каждой двойки попадут в разные группы, то разность сумм ai  в группах   (a1a2) + (a3a4) + ... + (a2n–1a2n) ≤ a1.
  Распределим пары по группам с соблюдением указанного условия. Пусть еще не получилось требуемого разбиения, причём в первой группе сумма bi  больше, чем во второй. Тогда в какой-то из двоек bi,  попавшее в первую группу, больше bj,  попавшего во вторую. Поменяв пары, принадлежащие этой двойке, местами, мы получим, что разность сумм bi  уменьшилась по модулю, поскольку изменилась не более, чем на 2b1. Такой процесс не может продолжаться бесконечно, поэтому когда-нибудь распределение станет требуемым.

  Выберем из наших ящиков тот, что содержит наибольшее количество апельсинов, а затем из оставшихся – тот, что содержит наибольшее количество яблок. Оставшиеся ящики согласно лемме можно разбить на две группы по 49 ящиков так, что разность количества апельсинов в первой и второй группах не превосходит числа апельсинов в первом ящике, и разность числа яблок в первой и второй группах не превосходит числа яблок во втором ящике. Добавим эти два ящика в ту группу, где не меньше бананов. Полученный набор из 51 ящика удовлетворяет условиям задачи.

Замечания

Ср. с задачей 110198.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2005
Этап
Вариант 4
1
Класс
Класс 11
задача
Номер 05.4.11.8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .