Версия для печати
Убрать все задачи

---

Решите в целых числах уравнение  (x² – y²)² = 1 + 16y.

   Решение

---

Определите угол A между сторонами 2 и 4, если медиана, проведённая из вершины A, равна .

   Решение

---

а) Наконец, у Снежной Королевы появились все квадраты с целыми сторонами, но каждый в единственном экземпляре. Королева пообещала Каю, что он станет мудрым, если сможет из каких-то имеющихся квадратов сложить прямоугольник. Сможет ли он это сделать?
б) Отдыхая, Кай стал заполнять стеклянный аквариум ледяными кубиками, которые лежали рядом. Кубики были самых разных размеров, но среди них не было двух одинаковых. Сможет ли Кай заполнить аквариум кубиками целиком?

   Решение

---

На сторонах треугольника ABC как на гипотенузах строятся во внешнюю сторону равнобедренные прямоугольные треугольники ABD , BCE и ACF . Докажите, что отрезки DE и BF равны и перпендикулярны.

   Решение

---

Две окружности касаются внешним образом. Их радиусы относятся как 3:1, а длина их общей внешней касательной равна 6 . Найдите периметр фигуры, образованной внешними касательными и внешними частями окружностей.

   Решение

---

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O . Точки K , L , M и N лежат на сторонах AB , BC , CD и AD соответственно, причём точка O лежит на отрезках KM и LN и делит их пополам. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

   Решение

---

Через точку на ребре треугольной пирамиды проведены две плоскости, параллельные двум граням пирамиды. Эти плоскости отсекают две треугольные пирамиды. Разрежьте оставшийся многогранник на две треугольные призмы.

   Решение

Темы:    [ Построение сечений ] [ Тетраэдр (прочее) ] [ Призма (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Через точку на ребре треугольной пирамиды проведены две плоскости, параллельные двум граням пирамиды. Эти плоскости отсекают две треугольные пирамиды. Разрежьте оставшийся многогранник на две треугольные призмы.

Решение

Пусть точка K лежит на ребре AD треугольной пирамиды ABCD , плоскость, проведённая через точку K параллельно плоскости ABC , пересекает рёбра BD и CD соответственно в точках L и M , а плоскость, проведённая через точку K параллельно плоскости BCD пересекает рёбра AB и AC соответственно в точках P и Q . Через точку Q проведём прямую, параллельную AB , до пересечения с ребром BC в точке F . Тогда

QF || AB || KL, QF = AB· = AB· = KL.
Поэтому KLFQ – параллелограмм, а т.к. CMLF и CMKQ – также параллелограммы, то KLMQFC – треугольная призма с основаниями KLM и QFC . Аналогично, KPQLBF – треугольная призма с основаниями KPQ и LBF . Таким образом, многогранник BCQPKLM можно разрезать на треугольные призмы KLMQFC и KPQLBF .

Источники и прецеденты использования