Точка M находится внутри диаметра AB окружности и отлична от центра окружности. По одну сторону от этого диаметра на окружности взяты произвольные различные точки P и Q , причём отрезки PM и QM образуют равные углы с диаметром. Докажите, что все прямые PQ проходят через одну точку.

   Решение

Первая окружность с центром в точке A касается сторон угла KOL в точках K и L. Вторая окружность с центром в точке B касается отрезка OK, луча LK и продолжения стороны угла OL за точку O. Известно, что отношение радиуса первой окружности к радиусу второй окружности равно . Найдите отношение отрезков OB и OA.

   Решение

Микрокалькулятор МК-97 умеет над числами, занесенными в память, производить только три операции:
  1) проверять, равны ли выбранные два числа,
  2) складывать выбранные числа,
  3) по выбранным числам a и b находить корни уравнения  x² + ax + b = 0,  а если корней нет, выдавать сообщение об этом.
Результаты всех действий заносятся в память. Первоначально в памяти записано одно число x. Как с помощью МК-97 узнать, равно ли это число единице?

   Решение

Найти решение уравнения     в целых числах.

   Решение

В треугольнике ABC точка M – середина стороны BC, AA₁, BB₁ и CC₁ – высоты. Прямые AB и A₁B₁ пересекаются в точке X, а прямые MC₁ и AC – в точке Y. Докажите, что  XY || BC .

   Решение

Найдите наименьшее значение  x² + y²,  если  x² – y² + 6x + 4y + 5 = 0.

   Решение

Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находится на расстояниях и от концов гипотенузы. Найдите катеты.

   Решение

В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены двусторонними беспосадочными авиалиниями, принадлежащими k авиакомпаниям. Известно, что каждые две линии одной авиакомпании имеют общий конец. Докажите, что все города можно разбить на  k + 2  группы так, что никакие два города из одной группы не соединены авиалинией.

   Решение

Год проведения нынешнего математического праздника делится на его номер:  2006 : 17 = 118.
  а) Назовите первый номер матпраздника, для которого это тоже было выполнено.
  б) Назовите последний номер матпраздника, для которого это тоже будет выполнено.

   Решение

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагональ AC делит пополам отрезок, соединяющий середины сторон BC и AD . В каком отношении она делит диагональ BD ?

   Решение

Найдите объём тетраэдра ABCD с рёбрами AB=5 , AC=1 и CD = 7 , если расстояние между серединами M и N его рёбер AC и BD равно 3, а прямая AC образует равные углы с прямыми AB , CD и MN .

   Решение

Темы:    [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ] [ Ортогональная проекция (прочее) ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Найдите объём тетраэдра ABCD с рёбрами AB=5 , AC=1 и CD = 7 , если расстояние между серединами M и N его рёбер AC и BD равно 3, а прямая AC образует равные углы с прямыми AB , CD и MN .

Ответ

2 .

Источники и прецеденты использования