Версия для печати
Убрать все задачи

---

К двум окружностям w₁ и w₂, пересекающимся в точках A и B, проведена их общая касательная CD (C и D – точки касания соответственно, точка B ближе к прямой CD, чем A). Прямая, проходящая через A, вторично пересекает w₁ и w₂ в точках и L соответственно (A лежит между K и L ). Прямые KC и LD пересекаются в точке P. Докажите, что PB – симедиана треугольника KPL (прямая, симметричная медиане относительно биссектрисы).

   Решение

---

Можно ли найти десять таких последовательных натуральных чисел, что сумма их квадратов равна сумме квадратов следующих за ними девяти последовательных натуральных чисел?

   Решение

---

Квадратную салфетку сложили пополам, полученный прямоугольник сложили пополам ещё раз (см. рисунок). Получившийся квадратик разрезали ножницами (по прямой). Могла ли салфетка распасться а) на 2 части? б) на 3 части? в) на 4 части? г) на 5 частей? Если да — нарисуйте такой разрез, если нет — напишите слово '' нельзя''.

   Решение

---

Две вершины квадрата расположены на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, а две другие – на катетах.
Найдите сторону квадрата, если гипотенуза равна a.

   Решение

---

О функции f(x) , заданной на всей действительной прямой, известно, что при любом a>1 функция f(x)+f(ax) непрерывна на всей прямой. Докажите, что f(x) также непрерывна на всей прямой.

   Решение

---

Если сумма квадратов двух целых чисел делится на 3, то каждое из этих чисел делится на 3. Доказать.

   Решение

---

Окружность S1 проходит через центр окружности S2 и пересекает её в точках A и B . Хорда AC окружности S1 касается окружности S2 в точке A и делит первую окружность на дуги, градусные меры которых относятся как 5:7 . Найдите градусные меры дуг, на которые окружность S2 делится окружностью S1 .

   Решение

Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность S1 проходит через центр окружности S2 и пересекает её в точках A и B . Хорда AC окружности S1 касается окружности S2 в точке A и делит первую окружность на дуги, градусные меры которых относятся как 5:7 . Найдите градусные меры дуг, на которые окружность S2 делится окружностью S1 .

Решение

Пусть O1 и O2 — центры окружностей S1 и S2 соответственно. Тогда

AO1C = 360^o· =150^o.
Поскольку O2AC = 90^o (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной), отрезок O2C — диаметр окружности S1 , поэтому
AO2C = AO1C = 75^o.
Тогда градусная мера дуги окружности S2 , заключённой между сторонами угла AO2C , равна 75^o , а градусная мера дуги AB окружности S2 , содержащейся внутри окружности S1 , равна 150^o . Следовательно, дополнительная к ней дуга окружности S2 равна 360^o-150^o=210^o .

Ответ

150^o ╩ 210^o .

Источники и прецеденты использования