Версия для печати
Убрать все задачи

---

Внутри круга расположены точки A₁, A₂, ..., A_n, а на его границе – точки B₁, B₂, ..., B_n так, что отрезки A₁B₁, A₂B₂, ..., A_nB_n не пересекаются. Кузнечик может перепрыгнуть из точки A_i в точку A_j, если отрезок A_iA_j не пересекается ни с одним из отрезков A_kB_k,  k ≠ i, j.
Докажите, что за несколько прыжков кузнечик сможет попасть из каждой точки A_p в любую точку A_q.

   Решение

---

Четырёхугольник ABCD — вписанный. Докажите, что

= .

   Решение

---

Дан параллелограмм ABCD. Две окружности с центрами в вершинах A и C проходят через D. Прямая l проходит через D и вторично пересекает окружности в точках X, Y. Докажите, что  BX = BY.

   Решение

---

К двум непересекающимся окружностям ω₁ и ω₂ проведены три общие касательные – две внешние, a и b, и одна внутренняя, c. Прямые a, b и c касаются окружности ω₁ в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно, а окружности ω₂ – в точках A₂, B₂ и C₂ соответственно. Докажите, что отношение площадей треугольников A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ равно отношению радиусов окружностей ω₁ и ω₂.

   Решение

---

В числе  a = 0,12457...  n-я цифра после запятой равна цифре слева от запятой в числе    Докажите, что α – иррациональное число.

   Решение

---

a и b – натуральные числа. Покажите, что если  4ab – 1  делит  (4a² – 1)²,  то  a = b.

   Решение

---

Какое наибольшее значение может принимать выражение     где a, b, c – попарно различные ненулевые цифры?

   Решение

---

Можно ли заменить буквы цифрами в ребусе

ШЕ· СТЬ + 1=СЕ· МЬ
так, чтобы получилось верное равенство (разные буквы нужно заменять разными цифрами, одинаковые буквы — одинаковыми цифрами)?

   Решение

---

В окружности с центром в точке O проведены два диаметра AB и CD так, что угол AOC = . Из точки M, лежащей на окружности и отличной от точек A, B, C и D, проведены к диаметрам AB и CD перпендикуляры MQ и MP соответственно (точка Q лежит на AB, а точка P на CD) так, что MPQ = . Найдите отношение площади треугольника MPQ к площади круга.

   Решение

---

Внутри забора, представляющего собой замкнутую несамопересекающуюся ломаную, заперт тигр. На рисунке видна только часть забора (положение тигра показано крестиком). Нарисуйте, как мог бы выглядеть весь забор (забор может идти только по линиям сетки).

   Решение

---

Перед футбольным матчем команд "Север" и "Юг" было дано пять прогнозов:
  а) ничьей не будет;
  б) в ворота "Юга" забьют;
  в) "Север" выиграет;
  г) "Север" не проиграет;
  д) в матче будет забито ровно 3 гола.
После матча выяснилось, что верными оказались ровно три прогноза. С каким счётом закончился матч?

   Решение

Темы:    [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Математическая логика (прочее) ]

Сложность: 3- Классы: 6,7

Прислать комментарий

Условие

Перед футбольным матчем команд "Север" и "Юг" было дано пять прогнозов:
  а) ничьей не будет;
  б) в ворота "Юга" забьют;
  в) "Север" выиграет;
  г) "Север" не проиграет;
  д) в матче будет забито ровно 3 гола.
После матча выяснилось, что верными оказались ровно три прогноза. С каким счётом закончился матч?

Решение

  Предположим, что "Север" выиграл. Тогда 4 прогноза ("а", "б", "в" и "г") оказались верными, что противоречит условию.
  Предположим, что матч закончился ничьей. Тогда заведомо неверны прогнозы "а", "в" и "д" (при ничьей количество забитых голов чётно). что также противоречит условию.
  Итак, этот матч "Север" проиграл. Тогда прогнозы "в" и "г" неверны, а оставшиеся 3 прогноза верны. А именно: ничьей не было, в ворота "Юга" забили, и в матче было забито ровно 3 гола. Значит, матч закончился со счётом  1 : 2.

Ответ

1 : 2.

Источники и прецеденты использования