Выбрано 12 задач 
Убрать все задачи
Внутри круга расположены точки A1, A2, ..., An, а на его границе – точки B1, B2, ..., Bn так, что отрезки A1B1, A2B2, ..., AnBn не пересекаются. Кузнечик может перепрыгнуть из точки Ai в точку Aj, если отрезок AiAj не пересекается ни с одним из отрезков AkBk, k ≠ i, j.
Докажите, что за несколько прыжков кузнечик сможет попасть из каждой точки Ap в любую точку Aq.
Четырёхугольник ABCD — вписанный. Докажите, что
Дан параллелограмм ABCD. Две окружности с центрами в вершинах A и C проходят через D. Прямая l проходит через D и вторично пересекает окружности в точках X, Y. Докажите, что BX = BY.
К двум непересекающимся окружностям ω1 и ω2 проведены три общие касательные – две внешние, a и b, и одна внутренняя, c. Прямые a, b и c касаются окружности ω1 в точках A1, B1 и C1 соответственно, а окружности ω2 – в точках A2, B2 и C2 соответственно. Докажите, что отношение площадей треугольников A1B1C1 и A2B2C2 равно отношению радиусов окружностей ω1 и ω2.
В числе a = 0,12457... n-я цифра после запятой равна цифре слева от запятой в числе Докажите, что α –
иррациональное число.
a и b – натуральные числа. Покажите, что если 4ab – 1 делит (4a² – 1)², то a = b.
Какое наибольшее значение может принимать выражение где a, b, c – попарно различные ненулевые цифры?
Можно ли заменить буквы цифрами в ребусе
В окружности с центром в точке O проведены два диаметра
AB и CD так, что угол
AOC =
. Из точки M,
лежащей на окружности и отличной от точек A, B, C и D, проведены к
диаметрам AB и CD перпендикуляры MQ и MP соответственно
(точка Q лежит на AB, а точка P на CD) так, что
MPQ =
. Найдите отношение площади треугольника MPQ к площади
круга.
Внутри забора, представляющего собой замкнутую несамопересекающуюся ломаную, заперт тигр. На рисунке видна только часть забора (положение тигра показано крестиком). Нарисуйте, как мог бы выглядеть весь забор (забор может идти только по линиям сетки).
Перед футбольным матчем команд "Север" и "Юг" было дано пять прогнозов:
а) ничьей не будет;
б) в ворота "Юга" забьют;
в) "Север" выиграет;
г) "Север" не проиграет;
д) в матче будет забито ровно 3 гола.
После матча выяснилось, что верными оказались ровно три прогноза. С каким счётом закончился матч?
Окружность ω, вписанная в остроугольный неравнобедренный треугольник ABC, касается стороны BC в точке D. Пусть точка I – центр окружности ω, а O – центр описанной окружности треугольника ABC. Описанная окружность треугольника AID, пересекает вторично прямую AO в точке E. Докажите, что длина отрезка AE равна радиусу окружности ω.
|
|
 |
Условие
Окружность ω, вписанная в остроугольный неравнобедренный треугольник ABC, касается стороны BC в точке D. Пусть точка I – центр окружности ω, а O – центр описанной окружности треугольника ABC. Описанная окружность треугольника AID, пересекает вторично прямую AO в точке E. Докажите, что длина отрезка AE равна радиусу окружности ω.
Решение
Пусть для определенности AB < AC, а луч DI пересекает отрезки AO и AC в точках P и Q соответственно (см. рис).
Имеем: ∠AIP = ∠DQC – ∠IAC = 90° – ∠ C – ½∠A и ∠IAP = ∠OAB –∠IAB = ½ (180° – ∠AOB) – ½∠A = 90° – ∠C – ½∠A. Таким образом, треугольник API равнобедренный (AP = PI), то есть точка P лежит на серединном перпендикуляре l к AI, и лучи PA и PI симметричны относительно l. Описанная окружность треугольника AID также симметрична относительно l. Следовательно, отрезки AE и ID тоже симметричны, поэтому они равны.
Замечания
1. Из решения, в частности, следует, что точка E всегда лежит на продолжении отрезка OA за точку A.
2. Из доказанного следует, что степень точки O относительно описанной окружности ωa треугольника AID равна R(R + r), где R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC. Степени точки O относительно окружностей ωb и ωc, построенных аналогично ωa, будут такими же. Это значит, что IO является общей радикальной осью трёх окружностей ωa, ωb и ωc, то есть эти окружности имеют две общие точки: одна – это точка I, а другая лежит на прямой IO. Используя формулу Эйлера (см. задачу 52464), нетрудно найти положение второй точки пересечения указанных окружностей.
