Версия для печати
Убрать все задачи

---

Когда из бассейна сливают воду, уровень h воды в нём меняется в зависимости от времени t по закону

h(t)=at²+bt+c,
а в момент t₀ окончания слива выполнены равенства h(t₀)=h'(t₀)=0 . За сколько часов вода из бассейна сливается полностью, если за первый час уровень воды в нём уменьшается вдвое?

   Решение

---

В остроугольном треугольнике KLN высоты пересекаются в точке H, а медианы — в точке O. Биссектриса угла K пересекает отрезок OH в такой точке M, что OM : MH = 3 : 1. Найдите площадь треугольника KLN, если LN = 4, а разность углов L и N равна 30^o.

   Решение

---

Доказать, что выражение

+
равно 2, если 1<= a <= 2 , и равно 2 , если a>2 .

   Решение

---

Из имеющихся последовательностей {b_n} и {c_n} (возможно, {b_n} совпадает с {c_n})  разрешается получать последовательности  {b_n + c_n},
{b_n – c_n},  {b_nc_n}  и  {^b_n/_cn}  (если все члены последовательности {c_n} отличны от 0). Кроме того, из любой имеющейся последовательности можно получить новую, вычеркнув несколько начальных членов. Сначала есть только последовательность {a_n}. Можно ли получить из неё описанными выше операциями последовательность {n}, то есть 1, 2, 3, 4, ..., если
  а)  a_n = n²;

  б)  

  в)  

   Решение

---

Существуют ли такие значения a и b, при которых уравнение   х⁴ – 4х³ + 6х² + aх + b = 0  имеет четыре различных действительных корня?

   Решение

---

Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке {(точка Нагеля))

   Решение

---

Петя тратит ⅓ своего времени на игру в футбол, ⅕ – на учебу в школе, ⅙ – на просмотр кинофильмов, ¹/₇₀ – на решение олимпиадных задач и ⅓ – на сон. Можно ли так жить?

   Решение

---

Докажите, что на графике функции  y = x³ можно отметить такую точку A, а на графике функции  y = x³ + |x| + 1  – такую точку B, что расстояние AB не превышает ¹/₁₀₀.

   Решение

---

Для натурального n обозначим  S_n = 1! + 2! + ... + n!.  Докажите, что при некотором n у числа S_n есть простой делитель, больший 10²⁰¹².

   Решение

Темы:    [ Арифметические функции (прочее) ] [ Произведения и факториалы ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Для натурального n обозначим  S_n = 1! + 2! + ... + n!.  Докажите, что при некотором n у числа S_n есть простой делитель, больший 10²⁰¹².

Решение

  Для простого p и натурального n обозначим через v_p(n) степень, в которой p входит в разложение n на простые множители. Заметим, что если
v_p(n) ≠ v_p(k),  то  v_p(n + k) = min {v_p(n), v_p(k)}. Отсюда немедленно следует, что если  v_p(S_n) < v_p((n + 1)!)  при некотором n, то v_p(S_k) = v_p(S_n)  при всех  k > n.
  Предположим, что все простые делители чисел вида S_n не превосходят  P = 10²⁰¹².
  Рассмотрим некоторое простое  p ≤ P.  Как показано выше, если  v_p(S_n) < v_p((n + 1)!)  при некотором n, то существует такое число a_p, что  v_p(S_k) < a_p  при всех натуральных k. Назовём такое простое число p маленьким; все остальные простые числа, меньшие P, назовём большими. Так как маленьких простых конечное количество, существует натуральное M, большее любого числа вида p^a_p, где p – маленькое.
  Пусть теперь p – большое простое число, а n таково, что  n + 2  кратно p. Тогда  v_p(S_n+1) ≥ v_p((n + 2)!) > v_p((n + 1)!);  значит,
v_p(S_n) = v_p(S_n+1 – (n + 1)!) = v_p((n + 1)!) = v_p(n!) (поскольку  n + 1  не кратно p).
  Рассмотрим число  N = MP! – 2.  По доказанному,  v_p(S_N) = v_p(N!) для каждого большого простого p. Кроме того, поскольку  N > M,  то
v_p(S_N) ≤ v_p(p^a_p) ≤ v_p(N!)  для любого маленького простого p. Поскольку все простые делители числа S_N – либо большие, либо маленькие, отсюда следует, что  S_N ≤ N!.  Противоречие.

Источники и прецеденты использования