Версия для печати
Убрать все задачи

---

Можно ли, применяя к числу 2 функции sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg, arcctg в любом количестве и в любом порядке, получить число 2010?

   Решение

---

Пусть  P(x) = (2x² – 2x + 1)¹⁷(3x² – 3x + 1)¹⁷.  Найдите
  a) сумму коэффициентов этого многочлена;
  б) суммы коэффициентов при чётных и нечётных степенях x.

   Решение

---

На плоскости проведено несколько прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Докажите, что в областях, на которые прямые поделили плоскость, можно расставить положительные числа так, чтобы суммы чисел по обе стороны каждой из проведённых прямых были равны.

   Решение

---

Рассмотрим все натуральные числа, в десятичной записи которых участвуют лишь цифры 1 и 0. Разбейте эти числа на два непересекающихся подмножества так, чтобы сумма любых двух различных чисел из одного и того же подмножества содержала в своей десятичной записи не менее двух единиц.

   Решение

---

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, если дана одна его вершина и три прямых, на которых лежат его биссектрисы.

   Решение

---

Можно ли найти восемь таких натуральных чисел, что ни одно из них не делится ни на какое другое, но квадрат любого из этих чисел делится на каждое из остальных?

   Решение

---

По кругу расставлено девять чисел – четыре единицы и пять нулей. Каждую секунду над числами проделывают следующую операцию: между соседними числами ставят ноль, если они различны, и единицу, если они равны; после этого старые числа стирают.
Могут ли через некоторое время все числа стать одинаковыми?

   Решение

---

Число N, не делящееся на 81, представимо в виде суммы квадратов трёх целых чисел, делящихся на 3.
Докажите, что оно также представимо в виде суммы квадратов трёх целых чисел, не делящихся на 3.

   Решение

---

Докажите, что можно на каждом ребре произвольного тетраэдра записать по неотрицательному числу так, чтобы сумма чисел на сторонах каждой грани численно равнялась её площади.

   Решение

Темы:    [ Сфера, вписанная в тетраэдр ] [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что можно на каждом ребре произвольного тетраэдра записать по неотрицательному числу так, чтобы сумма чисел на сторонах каждой грани численно равнялась её площади.

Решение 1

Пусть площадь наименьшей грани равна s, наибольшей – S, а двух оставшихся граней – a и b. Напишем на стороне, общей для наименьшей и наибольшей граней, число s, а на остальных двух рёбрах наименьшей грани – по нулю. На двух других других рёбрах наибольшей грани напишем числа  ½ (S – b + a – s)  и  ½ (S – a + b – s)  (каждое из них неотрицательно как сумма двух неотрицательных чисел). Наконец на единственном пока ещё пустом ребре напишем число   ½ (a + b + s – S)  (оно неотрицательно, так как проекции трёх граней покрывают четвёртую, а площадь грани не меньше площади её проекции на другую грань). Нетрудно проверить, что условие выполнено.

Решение 2

Впишем в тетраэдр сферу и рассмотрим все треугольники, образованные какой-то парой вершин тетраэдра и точкой касания сферы с гранью, содержащей эти вершины. К каждому ребру тетраэдра примыкает по два таких треугольника (см. рисунок).

Они равны по трём сторонам. Напишем на каждом ребре площадь примыкающего к нему треугольника. Сумма чисел на сторонах грани – это сумма площадей трёх треугольников, на которые эта грань разбивается, то есть как раз площадь грани.

Замечания

Ср. с задачей 116815.

Источники и прецеденты использования