Собралось n человек. Некоторые из них знакомы между собой, причём каждые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых, а каждые два знакомых не имеют общих знакомых. Доказать, что каждый из присутствующих знаком с одинаковым числом человек.

   Решение

Докажите, что нетождественное проективное преобразование прямой имеет не более двух неподвижных точек.

   Решение

Докажите, что касающиеся окружности (окружность и прямая) переходят при инверсии в касающиеся окружности или в окружность и прямую, или в пару параллельных прямых.

   Решение

Даны середины трех равных сторон выпуклого четырехугольника. Постройте этот четырехугольник.

   Решение

Назовём натуральное число интересным, если сумма его цифр – простое число.
Какое наибольшее количество интересных чисел может быть среди пяти подряд идущих натуральных чисел?

   Решение

Дан треугольник ABC. Построены четыре окружности равного радиуса  так, что одна из них касается трех других, а каждая из этих трех касается двух сторон треугольника. Найдите , если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника равны r и R соответственно.

   Решение

Среди всех таких чисел n, что любой выпуклый 100-угольник можно представить в виде пересечения (т. е. общей части) n треугольников, найдите наименьшее.

   Решение

а) Из обычной шахматной доски 8 на 8 вырезали клетки с5 и g2. Можно ли то, что осталось, замостить доминошками 1 на 2?
  б) Тот же вопрос, если вырезали клетки с6 и g2.

   Решение

Тема:    [ Шахматная раскраска ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

а) Из обычной шахматной доски 8 на 8 вырезали клетки с5 и g2. Можно ли то, что осталось, замостить доминошками 1 на 2?
  б) Тот же вопрос, если вырезали клетки с6 и g2.

Решение

а) Да, можно. Легко привести пример такого замощения.
  б) Нет, нельзя. Действительно, мы вырезали две белые клетки; но каждая доминошка покрывает одну белую и одну черную клетку, поэтому если бы мы замостили всю доску, то белых и черных клеток было бы покрыто одинаковое число, но белых клеток осталось 30, а черных 32. Значит, покрыть получившуюся доску доминошками нельзя.

Ответ

а) Да; б) нет.

Источники и прецеденты использования