Выбрано 19 задач 
Убрать все задачи
Докажите, что любой остроугольный треугольник
площади 1 можно поместить в прямоугольный треугольник площади .
Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.
Докажите справедливость формулы
На сторонах правильного треугольника ABC как на основаниях внутренним образом построены равнобедренные треугольники A1BC, AB1C и ABC1 с углами α, β и γ при основаниях, причём α + β + γ = 60°. Прямые BC1 и B1C пересекаются в точке A2, AC1 и A1C – в точке B2, AB1 и A1B – в точке C2. Докажите, что углы треугольника A2B2C2 равны 3α, 3β и 3γ.
Окружность радиуса ua вписана в угол A треугольника ABC, окружность радиуса ub вписана в угол B; эти окружности касаются друг друга внешним образом. Докажите, что радиус
описанной окружности треугольника со сторонами равен
где p – полупериметр треугольника ABC.
Напечатать в порядке возрастания все простые несократимые дроби, заключенные между 0 и 1, знаменатели которых не превышают 7.
В каждый из углов треугольника ABC вписано по окружности. Из одной вершины окружности, вписанные в два других угла, видны под равными углами. Из другой – тоже. Докажите, что тогда и из третьей вершины две окружности видны под равными углами.
Докажите, что для любого натурального a найдётся такое натуральное n, что все числа n + 1, nn + 1, nnn + 1, ... делятся на a.
Докажите, что среди 51 целого числа найдутся два, квадраты которых дают одинаковые остатки при делении на 100.
Докажите, что в любой выпуклый многоугольник
площади 1 можно поместить треугольник, площадь которого не меньше:
а) 1/4; б) 3/8.
В вершинах куба расставлены цифры 1, 2, ..., 8. Докажите, что есть ребро, цифры на концах которого отличаются не менее чем на 3.
На квадратном клетчатом листе бумаги размером 100 * 100 клеток нарисовано несколько прямоугольников. Каждый прямоугольник состоит из целых клеток, различные прямоугольники не накладываются друг на друга и не соприкасаются (см. пример на рис.). Задан массив размером 100 * 100, в котором элемент А [i, j] = 1, если клетка [i, j] принадлежит какому - либо прямоугольнику, и А [i, j] = 0 в противном случае. Написать программу, которая сосчитает и напечатает число прямоугольников.
а) Может ли квадрат натурального числа оканчиваться на 2?
б) Можно ли, используя только цифры 2, 3, 7, 8 (возможно, по несколько раз), составить квадрат натурального числа?
Карлсон написал дробь 10/97. Малыш может:
1) прибавлять любое натуральное число к числителю и знаменателю одновременно,
2) умножать числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число. Сможет ли Малыш с помощью этих действий получить дробь,
а) равную ½? б) равную 1?
Можно ли разбить какой-нибудь треугольник на 5 одинаковых треугольников?
На доске 8×8 стоят 8 не бьющих друг друга ладей. Все клетки доски распределяются во владения этих ладей по следующему правилу. Клетка, на которой стоит ладья, отдаётся этой ладье. Клетку, которую бьют две ладьи, получает та из ладей, которая ближе к этой клетке; если же эти две ладьи равноудалены от клетки, то каждая из них получает по полклетки. Докажите, что площади владений всех ладей одинаковы.
Даны два пересекающихся луча AС и BD. На этих лучах выбираются точки M и N (соответственно) так, что AM = BN. Найти положение точек M и N, при котором длина отрезка MN минимальна.
В окружность вписан неправильный многоугольник. Если вершина A разбивает дугу, заключенную между двумя другими вершинами, на две неравные части, то такая вершина A называется неустойчивой. Каждую секунду какая-нибудь неустойчивая вершина перепрыгивает в середину своей дуги. В результате каждую секунду образуется новый многоугольник. Докажите, что сколько бы секунд ни прошло, многоугольник никогда не будет равным исходному.
В секретной службе работают n агентов – 001, 002, ..., 007, ..., n. Первый агент следит за тем, кто следит за вторым, второй – за тем, кто следит за третьим, и т.д., n-й – за тем, кто следит за первым. Докажите, что n – нечётное число.
|
|
 |
Условие
В секретной службе работают n агентов – 001, 002, ..., 007, ..., n. Первый агент следит за тем, кто следит за вторым, второй – за тем, кто следит за третьим, и т.д., n-й – за тем, кто следит за первым. Докажите, что n – нечётное число.
Подсказка
Предполагая, что первый агент следит за k-м агентом, восстановите всю схему слежки.
Решение
Обозначим агентов точками и проведём стрелку от агента A к агенту B в том случае, когда A следит за B. Поскольку каждый агент следит ровно за одним другим, мы получим некоторый цикл (или несколько циклов) из стрелок. Согласно условию, если начать движение по стрелкам, начиная с первого агента и проходя за один раз по двум стрелкам, мы встретим подряд всех агентов с номерами 2, 3, ..., n, и в конце снова придём к первому агенту (это, в частности, означает, что цикл только один). Но в случае чётного числа агентов таким образом мы обойдём только половину цикла.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
