В прямоугольном треугольнике ABC проведена биссектриса прямого угла CL. Из вершины A ( A > 45^o) на CL опущен перпендикуляр AD. Найдите площадь треугольника ABC, если AD = a, CL = b.

   Решение

A', B', C', D', E' — середины сторон выпуклого пятиугольника ABCDE. Доказать, что площади пятиугольников ABCDE и A'B'C'D'E' связаны соотношением:

S_A'B'C'D'E'S_ABCDE.

   Решение

На сторонах остроугольного треугольника ABC взяты точки A₁, B₁, C₁ так, что отрезки AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в точке H.
Докажите, что  AH·A₁H = BH·B₁H = CH·C₁H  тогда и только тогда, когда H – точка пересечения высот треугольника ABC.

   Решение

Пусть O — центр правильного треугольника ABC, сторона которого равна 10. Точка K делит медиану BM треугольника BOC в отношении 3:1, считая от точки B. Что больше: BO или BK?

   Решение

В стране Мара расположено несколько замков. Из каждого замка ведут три дороги. Из какого-то замка выехал рыцарь. Странствуя по дорогам, он из каждого замка, стоящего на его пути, поворачивает либо направо, либо налево по отношению к дороге, по которой приехал. Рыцарь никогда не сворачивает в ту сторону, в которую он свернул перед этим. Доказать, что когда-нибудь он вернётся в исходный замок.

   Решение

С помощью одной линейки опустите перпендикуляр из данной точки на прямую, содержащую данный диаметр данной окружности, если точка не лежит ни на окружности, ни на данной прямой.

   Решение

Постройте треугольник ABC, зная положение центров A₁, B₁ и C₁ его вневписанных окружностей.

   Решение

В городе Никитовка двустороннее движение. В течение двух лет в городе проходил ремонт всех дорог. Вследствие этого в первый год на некоторых дорогах было введено одностороннее движение. На следующий год на этих дорогах было восстановлено двустороннее движение, а на остальных дорогах введено одностороннее движение. Известно, что в каждый момент ремонта можно было проехать из любой точки города в любую другую. Доказать, что в Никитовке можно ввести одностороннее движение так, что из каждой точки города удастся проехать в любую другую точку.

   Решение

В треугольнике ABC проведена высота AH; O — центр описанной окружности. Докажите, что OAH = |B - C|.

   Решение

В народной дружине 100 человек. Каждый вечер на дежурство выходят трое.
Можно ли организовать дежурство так, чтобы через некоторое время оказалось, что каждый дежурил с каждым ровно один раз?

   Решение

Площадь треугольника ABC равна 15. Угол BAC равен 120^o. Угол ABC больше угла ACB. Расстояние от вершины A до центра окружности, вписанной в треугольник ABC, равно 2. Найдите медиану треугольника ABC, проведённую из вершины B.

   Решение

На высоте AH треугольника ABC взята точка M. Докажите, что AB² - AC² = MB² - MC².

   Решение

В прямоугольном треугольнике ABC  (∠C = 90°)  проведены высота CD и медиана CE. Площади треугольников ABC и CDE равны соответственно 10 и 3. Найдите AB.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте окружность с данным центром, касающуюся данной окружности.

   Решение

Темы:    [ Построения ] [ Касающиеся окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте окружность с данным центром, касающуюся данной окружности.

Подсказка

Линия центров двух касающихся окружностей проходит через их точку касания.

Решение

Если данный центр лежит на данной окружности или совпадает с её центром, то задача не имеет решения. Рассмотрим остальные случаи.

Обозначим через R радиус данной окружности, O — центр. Пусть данная точка (центр искомой окружности) лежит вне данной окружности. Поскольку линия центров двух касающихся окружностей проходит через их точку касания, то радиус искомой окружности равен MO - R (внешнее касание) или MO + R (внутреннее касание).

Если M лежит внутри данной окружности, то задача также имеет два решения. В этом случае радиус искомой окружности равен R + MO (внутреннее касание) или R - MO (также внутреннее касание).

Источники и прецеденты использования