z₂, z₁, z₀ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда     – вещественное число, или   = .

   Решение

Исследуйте, сколько решений имеет система уравнений
    x² + y² + xy = a,
    x² – y² = b,
где а и b – некоторые данные действительные числа.

   Решение

В окружность радиуса 17 вписан четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны и находятся на расстоянии 8 и 9 от центра окружности. Найдите стороны четырёхугольника.

   Решение

Докажите, что при n 7 внутри выпуклого n-угольника найдется точка, сумма расстояний от которой до вершин больше периметра.

   Решение

Каждая из трёх окружностей радиуса r касается двух других. Найдите площадь фигуры, расположенной вне окружностей и ограниченной их дугами, заключёнными между точками касания.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, если дана прямая, на которой лежит его сторона, и основания биссектрис, проведённых из концов этой стороны.

   Решение

Докажите, что для любых комплексных чисел z, w справедливо равенство  e^ze^w = e^z+w.

   Решение

В окружность радиуса 13 вписан четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны. Одна из диагоналей равна 18, а расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей равно  4.  Найдите площадь четырёхугольника.

   Решение

Окружность, построенная на стороне треугольника как на диаметре, проходит через середину другой стороны. Докажите, что треугольник равнобедренный.

   Решение

При каких n многочлен  (x + 1)ⁿ – xⁿ – 1  делится на:
  а)  x² + x + 1;   б)  (x² + x + 1)²;   в) (x² + x + 1)³?

   Решение

При каком значении высоты прямоугольная трапеция с острым углом 30° и периметром 6 имеет наибольшую площадь?

   Решение

Темы:    [ Неравенство Коши ] [ Площадь трапеции ] [ Неравенства с площадями ] [ Четырехугольники (экстремальные свойства) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

При каком значении высоты прямоугольная трапеция с острым углом 30° и периметром 6 имеет наибольшую площадь?

Подсказка

Выразите площадь данной трапеции через её высоту и примените неравенство Коши.

Решение

Пусть h – высота трапеции, 3x – сумма оснований. Тогда большая боковая сторона трапеции равна 2h, а периметр  3x + 3h = 6.  Площадь трапеции равна     причём равенство достигается при  h = x = 2 – h,  то есть при  h = 1.

Ответ

При  h = 1.

Источники и прецеденты использования