Числа a, b, c таковы, что уравнение  x³ + ax² + bx + c = 0  имеет три действительных корня. Докажите, что если  –2 ≤ a + b + c ≤ 0,  то хотя бы один из этих корней принадлежит отрезку  [0, 2].

   Решение

На столе лежат n спичек  (n > 1).  Двое игроков по очереди снимают их со стола. Первым ходом игрок снимает со стола любое число спичек от 1 до  n – 1,  а дальше каждый раз можно брать со стола не больше спичек, чем взял предыдущим ходом партнер. Выигрывает тот, кто взял последнюю спичку. Найдите все n, при которых первый игрок может обеспечить себе выигрыш.

   Решение

Окружность с центром O вписана в треугольник ABC и касается его сторон AB, BC и AC в точках E, F и D соответственно. Прямые AO и CO пересекают прямую EF в точках M и N. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника OMN, точка O и точка D лежат на одной прямой.

   Решение

Даны два квадратных трёхчлена, имеющих корни. Известно, что если в них поменять местами коэффициенты при x², то получатся трёхчлены, не имеющие корней. Докажите, что если в исходных трёхчленах поменять местами коэффициенты при x, то получатся трёхчлены, имеющие корни.

   Решение

Существует ли такой квадратный трёхчлен P(x) с целыми коэффициентами, что для любого натурального числа n, в десятичной записи которого участвуют одни единицы, число P(n) также записывается одними единицами?

   Решение

Даны 19 карточек. Можно ли на каждой из карточек написать ненулевую цифру так, чтобы из этих карточек можно было сложить ровно одно 19-значное число, кратное на 11?

   Решение

Последовательность (a_n) задана условиями a₁= 1000000 , a_n+1=n[]+n . Докажите, что в ней можно выделить бесконечную подпоследовательность, являющуюся арифметической прогрессией.

   Решение

На совместной конференции партий лжецов и правдолюбов в президиум было избрано 32 человека, которых рассадили в четыре ряда по 8 человек. В перерыве каждый член президиума заявил, что среди его соседей есть представители обеих партий. Известно, что лжецы всегда лгут, а правдолюбы всегда говорят правду. При каком наименьшем числе лжецов в президиуме возможна описанная ситуация? (Два члена президиума являются соседями, если один из них сидит слева, справа, спереди или сзади от другого.)

   Решение

Четырехугольник ABCD описан около окружности. Биссектрисы внешних углов A и B пересекаются в точке K , внешних углов B и C – в точке L , внешних углов C и D – в точке M , внешних углов D и A – в точке N . Пусть K₁ , L₁ , M₁ , N₁ – точки пересечения высот треугольников ABK , BCL , CDM , DAN соответственно. Докажите, что четырехугольник K₁L₁M₁N₁ – параллелограмм.

   Решение

AA₁ и BB₁ – высоты остроугольного неравнобедренного треугольника ABC. Известно, что отрезок A₁B₁ пересекает среднюю линию, параллельную AB, в точке C'. Докажите, что отрезок CC' перпендикулярен прямой, проходящей через точку пересечения высот и центр описанной окружности треугольника ABC.

   Решение

В языке жителей Банановой Республики количество слов превышает количество букв в их алфавите. Докажите, что найдется такое натуральное k , для которого можно выбрать k различных слов, в записи которых используется ровно k различных букв.

   Решение

Двое играют в такую игру. Один задумывает натуральное число n, а другой задаёт вопросы типа «верно ли, что n не меньше x» (число x он может выбирать по своему усмотрению) и получает ответы «да» или «нет». Каждой возможной стратегии T второго игрока сопоставим функцию f_T(n), равную числу вопросов (до отгадывания), если было задумано число n. Пусть, например, стратегия T состоит в том, что сначала задают вопросы: «верно ли, что n не меньше 10?», «верно ли, что n не меньше 20?», ... до тех пор, пока на какой-то вопрос «верно ли, что n не меньше 10(k + 1)» не будет дан ответ «нет», а затем задают вопросы «верно ли, что n не меньше 10k + 1», «верно ли, что n не меньше 10k + 2» и так далее. Тогда f_T(n) = a + 2 + ^{(n – a)}/₁₀, где a — последняя цифра числа n, то есть f_T(n) растёт примерно как ⁿ/₁₀.

а) Предложите стратегию, для которой функция f_T растёт медленнее.

б) Сравнивая две стратегии, удобно для произвольной стратегии Т вместо функции f_T ввести функцию f_T, значение которой для любого натурального числа n равно наибольшему из чисел f_T(k), где k пробегает значения от 1 до n. Оцените снизу f_T для произвольной стратегии T.

   Решение

В треугольнике ABC угол BAC равена 30^o. Через вершины A и C проведены перпендикуляры к сторонам BC и AB соответственно. Точка пересечения этих перпендикуляров находится от вершин A и C на расстоянии, равном 1. Найдите стороны треугольника ABC.

   Решение

Темы:    [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC угол BAC равена 30^o. Через вершины A и C проведены перпендикуляры к сторонам BC и AB соответственно. Точка пересечения этих перпендикуляров находится от вершин A и C на расстоянии, равном 1. Найдите стороны треугольника ABC.

Ответ

AC = 1, AB = BC = .

Источники и прецеденты использования