Докажите, что для любого натурального числа n  

   Решение

Продолжения сторон KN и LM выпуклого четырёхугольника KLMN пересекаются в точке P, а продолжения сторон KL и MN – в точке Q. Отрезок PQ перпендикулярен биссектрисе угла KQN. Найдите сторону KL, если  KQ = 12,  NQ = 8,  а площадь четырёхугольника KLMN равна площади треугольника LQM.

   Решение

Геологи взяли в экспедицию 80 банок консервов, веса которых все известны и различны (имеется список). Через некоторое время надписи на консервах стали нечитаемыми, и только завхоз знает, где что. Он может это всем доказать (то есть обосновать, что в какой банке находится), не вскрывая консервов и пользуясь только сохранившимся списком и двухчашечными весами со стрелкой, показывающей разницу весов.
Докажите, что для этой цели ему
  а) достаточно четырёх взвешиваний и
  б) недостаточно трёх.

   Решение

На стороне BC треугольника ABC взята произвольная точка D. Через D и A проведены окружности ω₁ и ω₂ так, что прямая BA касается ω₁, прямая CA касается ω₂. BX – вторая касательная, проведённая из точки B к окружности ω₁, CY – вторая касательная, проведённая из точки C к окружности ω₂. Докажите, что описанная окружность треугольника XDY касается прямой BC.

   Решение

Каждая сторона выпуклого четырёхугольника разделена на 8 равных частей. Соответствующие точки деления на противоположных сторонах соединены друг с другом, и полученные клетки раскрашены в шахматном порядке. Докажите, что сумма площадей черных клеток равна сумме площадей белых клеток.

   Решение

На сторонах угла ABC отмечены точки М и K так, что углы BMC и BKA равны,  BM = BK,  AB = 15,  BK = 8,  CM = 9.
Найдите периметр треугольника СOK, где O – точка пересечения прямых AK и СМ.

   Решение

Точки M и N лежат на сторонах соответственно AB и AC треугольника ABC, причём AM = CN и AN = BM. Докажите, что площадь четырёхугольника BMNC по крайней мере в три раза больше площади треугольника AMN.

   Решение

Четырёхугольная пирамида SABCD вписана в сферу. Из вершин A, B, C, D опущены перпендикуляры AA₁, BB₁, CC₁, DD₁ на прямые SC, SD, SA, SB соответственно. Оказалось, что точки S, A₁, B₁, C₁, D₁ различны и лежат на одной сфере. Докажите, что точки A₁, B₁, C₁, D₁ лежат в одной плоскости.

   Решение

Арбуз имеет форму шара диаметра 20 см. Вася сделал длинным ножом три взаимно перпендикулярных плоских надреза глубиной h (надрез – это сегмент круга, h – высота сегмента, плоскости надрезов попарно перпендикулярны). Обязательно ли при этом арбуз разделится хотя бы на два куска, если
  а)  h = 17 см;
  б)  h = 18 см?

   Решение

В трапецию ABCD  (BC || AD)  вписана окружность, касающаяся боковых сторон AB и CD в точках K и L соответственно, а оснований AD и BC в точках M и N.
  а) Пусть Q – точка пересечения отрезков BM и AN. Докажите, что  KQ || AD.
  б) Докажите, что  AK·KB = CL·LD.

   Решение

Докажите, что медианы тетраэдра (отрезки, соединяющие вершины с точками пересечения медиан противолежащих граней) пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3:1 , считая от вершины.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте биссектрису данного угла, вершина которого лежит вне чертежа.

   Решение

Темы:    [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Необычные построения (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте биссектрису данного угла, вершина которого лежит вне чертежа.

Подсказка

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Решение

Отметим произвольные точки A и B на разных сторонах угла. Построим биссектрисы углов OAB и OBA (O — недоступная вершина данного угла). Пусть F — их точка пересечения. Опустим перпендикуляры FK и FL на стороны угла. Тогда биссектриса угла KFL и будет искомой, поскольку отрезки FK и FL, а следовательно, и прямые OA и OB, симметричны относительно биссектрисы угла KFL.

Через произвольную точку одной из сторон угла проведем прямую, параллельную другой стороне. Построим биссектрису полученного угла, а затем через полученную ранее точку F (см. первый способ) проведем прямую, параллельную этой биссектрисе.

Отметим произвольные точки A и B на разных сторонах угла. Построим биссектрисы углов OAB и OBA (O — недоступная вершина данного угла). Пусть F — их точка пересечения, а E — точка пересечения биссектрис смежных с ними углов. Тогда биссектриса угла с недоступной вершиной O проходит через точки F и E, т.к. биссектрисы двух внешних и третьего внутреннего угла треугольника пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования