Версия для печати
Убрать все задачи

---

Автомат при опускании гривенника выбрасывает пять двушек, а при опускании двушки – пять гривенников.
Может ли Петя, подойдя к автомату с одной двушкой, получить после нескольких опусканий одинаковое количество двушек и гривенников?

   Решение

---

На сторонах выпуклого четырёхугольника ABCD внешним образом построены подобные ромбы, причём их острые углы α прилегают к вершинам A и C. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных ромбов, равны, а угол между ними равен α.

   Решение

---

Позиционная система счисления. Докажите, что при q 2 каждое натуральное число n может быть единственным образом представлено в виде

где 0 a₀,..., a_k < q

   Решение

---

Дан 101 прямоугольник с целыми сторонами, не превышающими 100.
Докажите, что среди них найдутся три прямоугольника A, B, C, которые можно поместить друг в друга (так что  A ⊂ B ⊂ C).

   Решение

---

Какое наибольшее количество прямоугольников 4*1 можно разместить в квадрате 6*6 (не нарушая границ клеток)?

   Решение

---

На конгресс собрались учёные, среди которых есть друзья. Оказалось, что каждые два из них, имеющие на конгрессе равное число друзей, не имеют общих друзей. Доказать, что найдётся учёный, который имеет ровно одного друга из числа участников конгресса.

   Решение

---

98 спичек разложили в 19 коробков и на каждом написали количество спичек в этом коробке. Может ли произведение этих чисел быть нечётным числом?

   Решение

---

Найдите формулу n-го члена для последовательностей, заданных условиями ( n 0):

a) a0 = 0, a1 = 1, an + 2 = 4an + 1 - 5an;

б) a0 = 1, a1 = 2, an + 2 = 2an + 1 - 2an;

в) a0 = 1, a1 = 2, an + 2 + an + 1 + an = 0;

г) a0 = 1, a1 = 8, an + 2 = 6an + 1 + 25an.

   Решение

---

Докажите, что

   Решение

---

Докажите, что если  ∠BAC = 2∠ABC,  то   BC² = (AC + AB)·AC.

   Решение

---

Рассматривается последовательность  1, ½, ⅓, ¼, ⅕, ⅙, ¹/₇, ...  Существует ли арифметическая прогрессия
  а) длины 5;
  б) сколь угодно большой длины,
составленная из членов этой последовательности?

   Решение

---

Пусть (1 + + )ⁿ = p_n + q_n + r_n + s_n (n 0). Найдите:

а) ;     б) ;     в) .

   Решение

---

Найдите все значения а, для которых выражения   а +   и   ¹/_а –   принимают целые значения.

   Решение

---

На неравных сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены равнобедренные треугольники AC₁B и AB₁C с углом φ при вершине.
  а) M – точка медианы AA₁ (или её продолжения), равноудаленная от точек B₁ и C₁. Докажите, что  ∠B₁MC₁ = φ.
  б) O – точка серединного перпендикуляра к отрезку BC, равноудаленная от точек B₁ и C₁. Докажите, что  ∠B₁OC₁ = 180° – φ.

   Решение

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На неравных сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены равнобедренные треугольники AC₁B и AB₁C с углом φ при вершине.
  а) M – точка медианы AA₁ (или её продолжения), равноудаленная от точек B₁ и C₁. Докажите, что  ∠B₁MC₁ = φ.
  б) O – точка серединного перпендикуляра к отрезку BC, равноудаленная от точек B₁ и C₁. Докажите, что  ∠B₁OC₁ = 180° – φ.

Решение

а) Пусть B' – точка пересечения прямой AC и перпендикуляра к прямой AB₁, восставленного из точки B₁; точка C' определяется аналогично. Так как
AB' : AC' = AC₁ : AB₁ = AB : AC,  то  B'C' || BC.  Если N – середина отрезка B'C', то, как следует из задачи 56505,  NC₁ = NB₁  (то есть  N = M)  и
∠B₁NC₁ = 2∠AB'B₁ = 180° – 2∠CAB₁ = φ.

  б) Построим на стороне BC внешним образом равнобедренный треугольник BA₁C с углом  360° – 2φ  при вершине A₁ (если  φ < 90°,  строим внутренним образом треугольник с углом 2φ). Так как сумма углов при вершинах трёх построенных равнобедренных треугольников равна 360°, треугольник A₁B₁C₁ имеет углы  180° – φ,  ^φ/₂ и ^φ/₂ (см. задачу 56503). В частности, этот треугольник равнобедренный, а значит,  A₁ = O.

Источники и прецеденты использования