Информация о задаче

Выбрано 6 задач

Даны окружность, прямая и точки A, A', B, B', C, C', M, лежащие на этой прямой. Согласно задачам 30.1 и 30.3 существует единственное проективное преобразование данной прямой на себя, отображающее точки A, B, C соответственно в A', B', C'. Обозначим это преобразование через P. Постройте при помощи одной линейки а) точку P(M); б) неподвижные точки отображения P (задача Штейнера).

Решение

На сторонах AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки E и F. Пусть K, L, M и N — середины отрезков DE, BF, CE и AF. Докажите, что четырехугольник KLMN выпуклый и его площадь не зависит от выбора точек E и F.

Решение

Детали полотна игрушечной железной дороги имеют форму четверти окружности радиуса R. Докажите, что последовательно присоединяя их концами так, чтобы они плавно переходили друг в друга, нельзя составить путь, у которого начало совпадает с концом, а первое и последнее звенья образуют тупик, изображенный на рис.

Решение

а) Можно ли замостить костями домино размером 1×2 шахматную доску размером 8×8, из которой вырезаны два противоположных угловых поля?
б) Докажите, что если из шахматной доски размером 8×8 вырезаны две произвольные клетки разного цвета, то оставшуюся часть доски всегда можно замостить костями домино размером 1×2.

Решение

Даны две окружности S₁, S₂ и прямая l. Проведите прямую l₁, параллельную прямой l, так, чтобы:
а) расстояние между точками пересечения l₁ с окружностями S₁ и S₂ имело заданную величину a;
б) S₁ и S₂ высекали на l₁ равные хорды;
в) S₁ и S₂ высекали на l₁ хорды, сумма (или разность) длин которых имела бы заданную величину a.

Решение

На стороне AB четырехугольника ABCD взяты точки A₁ и B₁, а на стороне CD — точки C₁ и D₁, причем AA₁ = BB₁ = pAB и CC₁ = DD₁ = pCD, где p < 0, 5. Докажите, что S_{A₁B₁C₁D₁}/S_ABCD = 1 - 2p.

Решение

Условие

Решение

Источники и прецеденты использования