Два правильных равных треугольника расположены в пространстве в параллельных плоскостях P₁ и P₂, причём отрезок, соединяющий их центры, перпендикулярен плоскостям. Найти геометрическое место точек, являющихся серединами отрезков, соединяющих точки одного треугольника с точками другого треугольника.

   Решение

Играют двое, ходят по очереди. Первый ставит на плоскости красную точку, второй в ответ ставит на свободные места 10 синих точек. Затем опять первый ставит на свободное место красную точку, второй ставит на свободные места 10 синих, и т.д. Первый считается выигравшим, если какие-то три красные точки образуют правильный треугольник. Может ли второй ему помешать?

   Решение

Было семь ящиков. В некоторые из них положили еще по семь ящиков (не вложенных друг в друга) и т. д. В итоге стало 10 непустых ящиков.
Сколько всего стало ящиков?

   Решение

Площадь треугольника ABC равна 2. Найдите площадь сечения пирамиды ABCD плоскостью, проходящей через середины рёбер AD , BD , CD .

   Решение

У Гриши есть 5000 рублей. В магазине продаются шоколадные зайцы по цене 45 рублей за штуку. Чтобы отнести зайцев домой, Грише придется купить ещё несколько сумок по 30 рублей за штуку. В одну сумку помещается не более 30 шоколадных зайцев. Гриша купил наибольшее возможное количество зайцев и достаточное количество сумок, чтобы донести в них всех зайцев. Сколько денег осталось у Гриши?

   Решение

а) Квадрат разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 3 и 4 каждый. Докажите, что число треугольников чётно.

б) Прямоугольник разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 1 и 2 каждый. Докажите, что число треугольников чётно.

   Решение

У равнобедренного треугольника стороны равны 3 и 7. Какая из сторон является основанием?

   Решение

Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M(-2;0;3) параллельно плоскости 2x - y - 3z + 5 = 0 .

   Решение

Точка E – середина той дуги AB описанной окружности треугольника ABC, на которой лежит точка C; C₁ – середина стороны AB. Из точки E опущен перпендикуляр EF на AC. Докажите, что:
  а) прямая C₁F делит пополам периметр треугольника ABC;
  б) три такие прямые, построенные для каждой стороны треугольника, пересекаются в одной точке.

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Периметр треугольника ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Средняя линия треугольника ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точка E – середина той дуги AB описанной окружности треугольника ABC, на которой лежит точка C; C₁ – середина стороны AB. Из точки E опущен перпендикуляр EF на AC. Докажите, что:
  а) прямая C₁F делит пополам периметр треугольника ABC;
  б) три такие прямые, построенные для каждой стороны треугольника, пересекаются в одной точке.

Решение

  а) Возьмём на продолжении отрезка AC за точку C такую точку B', что  CB' = CB.  Треугольник BCB' равнобедренный, поэтому
∠AEB = ∠ACB = 2∠CB'B,  а значит, E – центр описанной окружности треугольника ABB'. Следовательно, точка F делит отрезок AB' пополам; поэтому прямая C₁F (параллельная BB') делит пополам периметр треугольника ABC.

  б) Ясно, что прямая, проведённая через точку C параллельно BB', является биссектрисой угла ACB. Следовательно, параллельная прямая C₁F – биссектриса угла подобного треугольника с вершинами в серединах сторон треугольника ABC. Биссектрисы этого треугольника пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования