Верно ли, что многочлен  P(n) = n² + n + 41  при всех n принимает только простые значения?

   Решение

Двое по очереди ставят коней в клетки шахматной доски так, чтобы кони не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

   Решение

Пусть a и n – натуральные числа, большие 1. Докажите, что если число aⁿ – 1 простое, то  a = 2  и n – простое.
(Числа вида  q = 2ⁿ – 1  называются числами Мерсенна.)

   Решение

Дан прямоугольный параллелепипед размерами а) 4 × 4 × 4; б) 4 × 4 × 3; в) 4 × 3 × 3, составленный из единичных кубиков. За ход разрешается проткнуть спицей любой ряд, если в нем есть хотя бы один непроткнутый кубик. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

   Решение

Имеется две кучки спичек: а) 101 спичка и 201 спичка; б) 100 спичек и 201 спичка. За ход разрешается уменьшить количество спичек в одной из кучек на число, являющееся делителем количества спичек в другой кучке. Выигрывает тот, после чьего хода спичек не остается.

   Решение

а) Двое по очереди ставят слонов в клетки шахматной доски. Очередным ходом надо побить хотя бы одну небитую клетку. Слон бьет и клетку, на которой стоит. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

б) Та же игра, но с ладьями.

   Решение

Докажите неравенство  2^m+n–2 ≥ mn,  где m и n – натуральные числа.

   Решение

На плоскости даны неравнобедренный треугольник, его описанная окружность, и отмечен центр его вписанной окружности.
Пользуясь только линейкой без делений и проведя не больше семи линий, постройте диаметр описанной окружности.

   Решение

Имеется три кучки камней: в первой – 50, во второй – 60, в третьей – 70. Ход состоит в разбиении каждой кучки, состоящей более чем из одного камня, на две меньшие кучки. Выигрывает тот, после чьего хода во всех кучках будет по одному камню.

   Решение

Пусть P(x) – многочлен ненулевой степени с целыми коэффициентами. Могут ли все числа P(0), P(1), P(2), ... быть простыми?

   Решение

Дан выпуклый четырехугольник ABCD;  A₁, B₁, C₁ и D₁ — центры описанных окружностей треугольников  BCD, CDA, DAB и ABC. Аналогично для четырехугольника  A₁B₁C₁D₁ определяются точки  A₂, B₂, C₂ и D₂. Докажите, что четырехугольники ABCD и  A₂B₂C₂D₂ подобны, причем коэффициент их подобия равен  |(ctgA + ctgC)(ctgB + ctgD)/4|.

   Решение

Тема:    [ Четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 6 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Дан выпуклый четырехугольник ABCD;  A₁, B₁, C₁ и D₁ — центры описанных окружностей треугольников  BCD, CDA, DAB и ABC. Аналогично для четырехугольника  A₁B₁C₁D₁ определяются точки  A₂, B₂, C₂ и D₂. Докажите, что четырехугольники ABCD и  A₂B₂C₂D₂ подобны, причем коэффициент их подобия равен  |(ctgA + ctgC)(ctgB + ctgD)/4|.

Решение

Точки C₁ и D₁ лежат на серединном перпендикуляре к отрезку AB, поэтому  AB C₁D₁. Аналогично  C₁D₁ A₂B₂, а значит,  AB| A₂B₂. Аналогично доказывается, что параллельны и остальные соответственные стороны и диагонали четырехугольников ABCD и  A₂B₂C₂D₂. Следовательно, эти четырехугольники подобны.
Пусть M — середина отрезка AC. Тогда  B₁M = | AMctgD| и  D₁M = | AMctgB|, причем  B₁D₁ = | ctgB + ctgD| ^. AC/2. Повернем четырехугольник  A₁B₁C₁D₁ на  90^o. Тогда, воспользовавшись результатом задачи 6.25, получим, что этот четырехугольник выпуклый, причем  ctgA = - ctgC₁ и т. д. Поэтому A₂C₂ = | ctgA+ctgC| ^. B₁D₁/2 = |(ctgA+ctgC)(ctgB+ctgD)/4| ^. AC.

Источники и прецеденты использования