Найдите  (xⁿ – 1, x^m – 1).

   Решение

Есть 20 карточек, у каждой из которых на двух сторонах написано по числу. При этом все числа от 1 до 20 написаны по два раза.
Доказать, что карточки можно разложить так, чтобы все числа сверху были различны.

   Решение

Криволинейный многоугольник – это многоугольник, стороны которого – дуги окружностей. Существуют ли такой криволинейный многоугольник P и такая точка A на его границе, что каждая прямая, проходящая через точку A, делит периметр многоугольника P на два куска равной длины?

   Решение

Разрежьте круг на несколько равных частей так, чтобы центр круга не лежал на границе хотя бы одной из них.

   Решение

Пусть  (P(x), Q(x)) = D(x).
Докажите, что существуют такие многочлены U(x) и V(x), что  degU (x) < deg Q(x),  deg V(x) < deg P(x)  и   P(x)U(x) + Q(x)V(x) = D(x).

   Решение

Докажите, что  x² + y² + z² ≥ xy + yz + zx  при любых x, y, z.

   Решение

Требуется записать число вида 7...7, используя только семёрки (их можно писать и по одной, и по нескольку штук подряд), причём разрешены только сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень, а также скобки. Для числа 77 самая короткая запись – это просто 77. А существует ли число вида 7...7, которое можно записать по этим правилам, используя меньшее количество семёрок, чем в его десятичной записи?

   Решение

Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой AC, проведена биссектриса треугольника BD; отмечены середины E и F дуг BD окружностей, описанных около треугольников ADB и CDB соответственно (сами окружности не проведены). Постройте одной линейкой центры окружностей.

   Решение

Докажите, что  2(x² + y²) ≥ (x + y)²  при любых x и y.

   Решение

Четырехугольник ABCD вписанный. Докажите, что

= .

   Решение

Тема:    [ Теорема Птолемея ]

Сложность: 5 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Четырехугольник ABCD вписанный. Докажите, что

= .

Решение

Пусть S — площадь четырехугольника ABCD, R — радиус его описанной окружности. Тогда  S = S_ABC + S_ADC = AC(AB ^. BC + AD ^. DC)/4R (см. задачу 12.1). Аналогично  S = BD(AB ^. AD + BC ^. CD)/4R. Приравнивая эти выражения для S, получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования