Информация о задаче

Выбрано 12 задач

Можно ли нарисовать правильный треугольник с вершинами в узлах квадратной сетки?

Коля Васин задумал число от 1 до 200. За какое наименьшее число вопросов вы сможете его отгадать, если он отвечает на каждый вопрос
а) ``да'' или ``нет'';
б) ``да'', ``нет'' или ``не знаю''?

Решение

Докажите, что связный граф с 2n нечётными вершинами можно нарисовать, оторвав карандаш от бумаги ровно n –1 раз и не проводя никакое ребро дважды.

Решение

Все углы выпуклого многоугольника A₁...A_n равны, и из некоторой его внутренней точки O все стороны видны под равными углами.
Докажите, что этот многоугольник правильный.

Решение

Для последовательности {a_n}

$\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}^{}$ $\displaystyle \left(\vphantom{a_{n+1}-\dfrac{a_n}{2}}\right.$ a_{n + 1} - $\displaystyle {\dfrac{a_n}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{a_{n+1}-\dfrac{a_n}{2}}\right)$ = 0.

Докажите, что $\lim\limits_{n\to\infty}^{}$ a_n = 0.

Решение

Аня, Ваня и Саня сели в автобус, не имея медных монет, однако сумели заплатить за проезд, потратив по пять копеек каждый. Как им это удалось?

Решение

При каких натуральных a и b число log_ab будет рациональным?

Решение

Дана квадратная сетка на плоскости и треугольник с вершинами в узлах сетки. Докажите, что тангенс любого угла в треугольнике — число рациональное.

Решение

Постройте прямоугольник с данным отношением сторон, зная по одной точке на каждой из его сторон.

Решение

Длины всех сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, причем наибольший общий делитель этих чисел равен 1. Докажите, что его катеты равны 2mn и m² - n², а гипотенуза равна m² + n², где m и n — натуральные числа.

Решение

Пятеро молодых рабочих получили на всех зарплату - 1500 рублей. Каждый из них хочет купить себе магнитофон ценой 320 рублей. Докажите, что кому-то из них придется подождать с покупкой до следующей зарплаты.

Решение

Бумажная лента постоянной ширины завязана простым узлом и затем стянута так, чтобы узел стал плоским (см. рис.).
Докажите, что узел имеет форму правильного пятиугольника.

Решение

Условие

Решение

Замечания

Источники и прецеденты использования