Из 16 плиток размером 1×3 и одной плитки 1×1 сложили квадрат со стороной 7. Докажите, что плитка 1×1 лежит в центре квадрата или примыкает к его границе.

   Решение

Вокруг квадрата описан параллелограмм. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин параллелограмма на стороны квадрата, образуют квадрат.

   Решение

Квадрат разделен на четыре части двумя перпендикулярными прямыми, точка пересечения которых лежит внутри его. Докажите, что если площади трех из этих частей равны, то равны и площади всех четырех частей.

   Решение

Докажите, что  l_a .

   Решение

В центре каждой клетки шахматной доски стоит по фишке. Фишки переставили так, что попарные расстояния между ними не уменьшились. Докажите, что в действительности попарные расстояния не изменились.

   Решение

На плоскости дана окружность и не пересекающая ее прямая. Докажите, что существует проективное преобразование, переводящее данную окружность в окружность, а данную прямую — в бесконечно удаленную прямую.

   Решение

Докажите, что  r_a + r_b + r_c = 4R + r.

   Решение

Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до его вершин не меньше 6r.

   Решение

Тема:    [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до его вершин не меньше 6r.

Решение

Если  C 120^o, то сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до его вершин не меньше a + b (задача 12.21); кроме того,  a + b 6r (задача 12.27).
Если все углы треугольника меньше  120^o, то в точке минимума суммы расстояний до вершин треугольника квадрат этой суммы равен  (a² + b² + c²)/2 + 2S (задача 18.21, б)). Далее,  (a² + b² + c²)/2 2S (задача 10.53, б)) и  4S 36r² (задача 10.53, а)).

Источники и прецеденты использования