Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что треугольники abc и a'b'c' собственно подобны, тогда и только тогда, когда

   Решение

---

Докажите, что барицентрические координаты точки X, лежащей внутри треугольника ABC, равны (S_BCX : S_CAX : S_ABX).

   Решение

---

Вадим и Лёша спускались с горы. Вадим шёл пешком, а Лёша съезжал на лыжах в семь раз быстрее Вадима. На полпути Лёша упал, сломал лыжи и ногу и пошёл в два раза медленней Вадима. Кто первым спустится с горы?

   Решение

---

Найти все рациональные положительные решения уравнения  x^y = y^x  (x ≠ y).

   Решение

---

Имеется неограниченное количество плиток в форме многоугольника M. Будем говорить, что из этих плиток можно сложить паркет, если ими можно покрыть круг сколь угодно большого радиуса так, чтобы не было ни просветов, ни перекрытий.
а) Докажите, что если M — выпуклый n-угольник, где n7, то паркет сложить нельзя.
б) Приведите пример такого выпуклого пятиугольника с попарно непараллельными сторонами, что паркет сложить можно.

   Решение

---

Числа a, b, c и d таковы, что  a² + b² + c² + d² = 4.  Докажите, что  (2 + a)(2 + b) ≥ cd.

   Решение

---

В классе 33 ученика, всем вместе 430 лет.
Докажите, что если выбрать 20 самых старших из них, то им вместе будет не меньше, чем 260 лет. (Возраст любого ученика – целое число.)

   Решение

---

Дан отрезок $AB$. Пусть $C$ – произвольная точка на серединном перпендикуляре к $AB$; $O$ – точка на описанной окружности треугольника $ABC$, противоположная $C$; эллипс с центром $O$ касается прямых $AB$, $BC$, $CA$. Найдите геометрическое место точек касания эллипса с прямой $BC$.

   Решение

---

Постройте треугольник по двум сторонам так, чтобы медиана, проведённая к третьей стороне, делила угол треугольника в отношении  1 : 2.

   Решение

---

Дан треугольник со сторонами a, b и c, причём  a ≥ b ≥ c;  x, y и z – углы некоторого другого треугольника. Докажите, что

   Решение

Темы:    [ Теорема косинусов ] [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Длины сторон (неравенства) ] [ Неравенства для углов треугольника ] [ Возрастание и убывание. Исследование функций ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник со сторонами a, b и c, причём  a ≥ b ≥ c;  x, y и z – углы некоторого другого треугольника. Докажите, что

Решение

  Пусть  f = bc cos x + ca cos y + ab cos z.  Так как  cos x = – cos y cos z + sin y sin z,  то  f = c(a – b cos z) cos y + bc sin y sin z + ab cos z.
  Рассмотрим треугольник, длины двух сторон которого равны a и b, а угол между ними равен z; пусть φ и ψ – углы, лежащие против сторон a и b,
t – длина стороны, лежащей против угла z. Легко видеть, что  a – b cos z = t cos ψ,  а  b sin z = t sin ψ.  Следовательно,
f = ct cos ψ cos y + ct sin y sin ψ + ab cos z = ct cos(ψ – y) + ½ (a² + b² – t²).
  Так как  cos(ψ – y) ≤ 1,  то  f ≤ ½ (a² + b² + c²).  Так как  a ≥ b,  то  φ ≥ ψ,  а значит,  – φ ≤ – ψ < y – ψ < π – z – ψ = φ,  то есть
cos(y – ψ) > cos φ.  Поэтому

  Коэффициент при t² отрицателен или равен нулю; кроме того,  0 < t < a + b.  Следовательно,

Замечания

Оценка сверху, как нетрудно проверить, достигается, когда x, y, z – углы исходного треугольника, лежащие против сторон a, b, c соответственно. Оценка снизу "достигается"; при  x = y = 0,  z = π.
Читатель, знакомый с исследованием функций двух переменных, может получить тот же результат, продифференцировав f по x и по y.

Источники и прецеденты использования