Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что из любого выпуклого четырёхугольника можно вырезать три его копии вдвое меньшего размера.

   Решение

---

Докажите, что среди вершин выпуклого девятиугольника можно найти три, образующие тупоугольный треугольник, ни одна сторона которого не совпадает со сторонами девятиугольника.

   Решение

---

Дан треугольник ABC. Рассмотрим три окружности, первая из которых касается описанной окружности Ω в вершине A, а вписанной окружности ω внешним образом в какой-то точке A₁. Аналогично определяются точки B₁ и C₁.
  а) Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.
  б) Пусть A₂ – точка касания ω со стороной BC. Докажите, что прямые AA₁ и AA₂ симметричны относительно биссектрисы угла A.

   Решение

---

а) Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника ABCD вычисляется по формуле

где p — полупериметр, a, b, c, d — длины сторон.
б) Докажите, что если четырехугольник ABCD вписанный, то  S² = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d ).
в) Докажите, что если четырехугольник ABCD описанный, то  S² = abcd sin²((B + D)/2).

   Решение

---

Продолжения сторон AD и BC выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O; M и N — середины сторон AB и CD, P и Q — середины диагоналей AC и BD. Докажите, что:
а)  S_PMQN = | S_ABD - S_ACD|/2;
б)  S_OPQ = S_ABCD/4.

   Решение

---

Через центры некоторых клеток шахматной доски 8×8 проведена замкнутая ломаная без самопересечений. Каждое звено ломаной соединяет центры соседних по горизонтали, вертикали или диагонали клеток. Докажите, что в ограниченной ею части доски общая площадь чёрных кусков равна общей площади белых кусков.

   Решение

---

Целые числа a, x₁, x₂, ..., x₁₃ таковы, что  a = (1 + x₁)(1 + x₂)...(1 + x₁₃) = (1 – x₁)(1 – x₂)...(1 – x₁₃).  Докажите, что  ax₁x₂...x₁₃ = 0.

   Решение

---

Каждая из трех прямых делит площадь фигуры пополам. Докажите, что часть фигуры, заключенная внутри треугольника, образованного этими прямыми, имеет площадь, не превосходящую 1/4 площади всей фигуры.

   Решение

---

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
sin 2 + sin 2 + sin 2 = 4 sinsinsin.

   Решение

---

На сторонах AB и BC треугольника ABC внешним образом построены параллелограммы; P — точка пересечения продолжений их сторон, параллельных AB и BC. На стороне AC построен параллелограмм, вторая сторона которого равна и параллельна BP. Докажите, что его площадь равна сумме площадей первых двух параллелограммов.

   Решение

---

Найдите все такие конфигурации из шести точек общего положения на плоскости, что треугольник, образованный любыми тремя из них, равен треугольнику, образованному тремя остальными.

   Решение

---

На стороне AB четырехугольника ABCD взята точка M₁. Пусть M₂ — проекция M₁ на прямую BC из D, M₃ — проекция M₂ на CD из A, M₄ — проекция M₃ на DA из B, M₅ — проекция M₄ на AB из C и т. д. Докажите, что M₁₃ = M₁ (а значит, M₁₄ = M₂, M₁₅ = M₃ и т. д.).

   Решение

---

Докажите, что существует проективное отображение, которое три данные точки одной прямой переводит в три данные точки другой прямой.

   Решение

Тема:    [ Проективные преобразования прямой ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что существует проективное отображение, которое три данные точки одной прямой переводит в три данные точки другой прямой.

Решение

Обозначим данные прямые через l₀ и l, данные точки на прямой l₀ — через A₀, B₀, C₀, данные точки на прямой l — через A, B, C. Пусть l₁ — произвольная прямая, не проходящая через точку A. Возьмем произвольную точку O₀, не лежащую на прямых l₀ и l₁. Обозначим через P₀ центральное проектирование прямой l₀ на прямую l₁ с центром в точке O₀, а через A₁, B₁, C₁ — проекции точек A₀, B₀, C₀. Пусть l₂ — произвольная прямая, проходящая через точку A, не совпадающая с прямой l и не проходящая через A₁. Возьмем некоторую точку O₁ на прямой AA₁ и рассмотрим центральное проектирование P₁ прямой l₁ на l₂ с центром в O₁. Обозначим через A₂, B₂, C₂ проекции точек A₁, B₁, C₁. Ясно, что A₂ совпадает с A. Наконец, пусть P₂ — проектирование прямой l₂ на прямую l, которое в том случае, когда прямые BB₂ и CC₂ не параллельны, является центральным проектированием с центром в точке пересечения этих прямых, а в том случае, когда прямые BB₂ и CC₂ параллельны, является параллельным проектированием вдоль одной из этих прямых. Композиция P₂oP₁oP₀ является требуемым проективным преобразованием.

Источники и прецеденты использования