Докажите, что: а)  l_a² + l_b² + l_c² p²; б)  l_a + l_b + l_c p.

   Решение

Докажите, что инверсия с центром в вершине A равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) и степенью AB² переводит основание BC треугольника в дугу BC описанной окружности.

   Решение

Дана прямая MN и две точки A и B по одну сторону от нее. Постройте на прямой MN точку X так, что  ∠AXM = 2∠BXN.

   Решение

Прямые  AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке O. Докажите, что точки пересечения прямых AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, AC и A₁C₁ лежат на одной прямой (Дезарг).

   Решение

В прямоугольник ABCD вписаны два различных прямоугольника, имеющих общую вершину K на стороне AB. Докажите, что сумма их площадей равна площади прямоугольника ABCD.

   Решение

По арене цирка, являющейся кругом радиуса 10 м, бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 км. Докажите, что сумма всех углов его поворотов не меньше 2998 радиан.

   Решение

а) Пусть AA' и BB' — сопряженные диаметры эллипса с центром O. Проведем через точку B перпендикуляр к прямой OA и отложим на нем отрезки BP и BQ, равные OA. Докажите, что главные оси эллипса являются биссектрисами углов между прямыми OP и OQ.
б) На плоскости нарисована пара сопряженных диаметров эллипса. С помощью циркуля и линейки постройте его оси.

   Решение

Окружность S_A проходит через точки A и C; окружность S_B проходит через точки B и C; центры обеих окружностей лежат на прямой AB. Окружность S касается окружностей S_A и S_B, а кроме того, она касается отрезка AB в точке C₁. Докажите, что CC₁ — биссектриса треугольника ABC.

   Решение

Даны четырехугольник ABCD и прямая l. Обозначим через P, Q, R точки пересечения прямых AB и CD, AC и BD, BC и AD, а через P₁, Q₁, R₁ — середины отрезков, которые эти пары прямых высекают на прямой l. Докажите, что прямые PP₁, QQ₁ и RR₁ пересекаются в одной точке.

   Решение

Докажите, что  h_a .

   Решение

Впишите в данную окружность n-угольник, одна из сторон которого проходит через данную точку, а остальные стороны параллельны данным прямым.

   Решение

Даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁. Известно, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке O, прямые AA₁, BC₁ и CB₁ пересекаются в одной точке O₁ и прямые AC₁, BB₁ и CA₁ пересекаются в одной точке O₂. Докажите, что прямые AB₁, BA₁ и CC₁ тоже пересекаются в одной точке O₃ (теорема о трижды перспективных треугольниках).

   Решение

Тема:    [ Переведем данную прямую на бесконечность ]

Сложность: 6 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁. Известно, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке O, прямые AA₁, BC₁ и CB₁ пересекаются в одной точке O₁ и прямые AC₁, BB₁ и CA₁ пересекаются в одной точке O₂. Докажите, что прямые AB₁, BA₁ и CC₁ тоже пересекаются в одной точке O₃ (теорема о трижды перспективных треугольниках).

Решение

Рассмотрим проективное преобразование с исключительной прямой O₁O₂ и обозначим через A', B',... образы точек A, B,... Тогда A'C₁'| C'A₁'| B'B₁', B'C₁'| C'B₁'| A'A₁'. Будем для определенности считать, что точка C лежит внутри угла A'O'B' (остальные случаи переобозначением сводятся к этому). Сделав еще, если необходимо, аффинное преобразование, мы можем считать, что параллелограмм O'A'C₁'B' является квадратом, а значит, O'A₁'C'B₁' — тоже квадрат, причем диагонали O'C₁' и O'C' этих квадратов лежат на одной прямой. Остается воспользоваться симметрией относительно этой прямой.

Источники и прецеденты использования