Докажите, что для любых положительных чисел x и y справедливо неравенство  

   Решение

Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна чётная цифра?

   Решение

Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ ($AD > BC$) пересекаются в точке $P$. На отрезке $AD$ нашлась такая точка $Q$, что $BQ=CQ$. Докажите, что линия центров окружностей, описанных около треугольников $AQC$ и $BQD$, перпендикулярна прямой $PQ$.

   Решение

Средняя линия, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает его описанную окружность в точках $X$ и $Y$. Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$, а $D$ – середина дуги $AC$, не содержащей точку $B$. На отрезке $DI$ отметили точку $L$ такую, что $DL=BI/2$. Докажите, что из точек $X$ и $Y$ отрезок $IL$ виден под равными углами.

   Решение

Человек имеет шесть друзей и в течение пяти дней приглашает к себе в гости каких-то троих из них так, чтобы компания ни разу не повторялась.
Сколькими способами он может это сделать?

   Решение

Пусть $BH$ – высота прямоугольного треугольника $ABC$ $(\angle B=90^{\circ})$. Вневписанная окружность треугольника $ABH$, противолежащая вершине $B$, касается прямой $AB$ в точке $A_{1}$; аналогично определяется точка $C_{1}$. Докажите, что $AC\parallel A_{1}C_{1}$.

   Решение

В вершинах правильных многоугольников записываются числа 1 и 2. Сколько существует таких многоугольников, что сумма чисел, стоящих в вершинах, равна n ( n 3)? Две расстановки чисел, которые можно совместить поворотом, не отождествляются.

   Решение

На кольцо свободно нанизано 2009 бусинок. За один ход любую бусинку можно передвинуть так, чтобы она оказалась ровно посередине между двумя соседними. Существуют ли такие изначальная расстановка бусинок и последовательность ходов, при которых какая-то бусинка пройдёт хотя бы один полный круг?

   Решение

Докажите, что для произвольных a, b, с равенство     выполнено тогда и только тогда, когда выполнено равенство   .

   Решение

а) Докажите, что в последовательности чисел Фибоначчи при  m ≥ 2  встречается не менее четырёх и не более пяти m-значных чисел.
б) Докажите, что число F_5n+2  (n ≥ 0)  содержит в своей десятичной записи не менее  n + 1  цифры.

   Решение

Темы:    [ Алгоритм Евклида ] [ Десятичная система счисления ] [ Числа Фибоначчи ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что в последовательности чисел Фибоначчи при  m ≥ 2  встречается не менее четырёх и не более пяти m-значных чисел.
б) Докажите, что число F_5n+2  (n ≥ 0)  содержит в своей десятичной записи не менее  n + 1  цифры.

Подсказка

Докажите сначала вспомогательные неравенства  F_n+5 ≥ 10,5 F_n,  F_n+4 ≤ 8F_n.

Решение

  Заметим, что  F_n ≤ F_n+1 ≤ 2F_n.  Поэтому  F_n+4 = F_n+3 + F_n+2 = 2F_n+2 + F_n+1 = 3F_n+1 + 2F_n ≤ 8F_n,  а
F_n+5 = 3F_n+2 + 2F_n+1 = 5F_n+1 + 3F_n = 8F_n + 5F_n–1 ≥ 8F_n + 2,5F_n > 10F_n.     (*)

  а) Пусть F_n – наименьшее m-значное число Фибоначчи. Тогда  F_n–1 < 10^m–1 ≤ F_n.  Значит,  F_n+5 > 10F_n ≥ 10^m,  то есть m-значных чисел Фибоначчи не больше пяти. Но  F_n+4 < 8F_n–1 < 10^m,  то есть m-значных чисел Фибоначчи не меньше четырёх.

  б) Утверждение эквивалентно неравенству  F_5n+2 ≥ 10ⁿ,  которое легко доказывается по индукции с использованием неравенства (*).

Источники и прецеденты использования