Версия для печати
Убрать все задачи

---

Можно ли нарисовать правильный треугольник с вершинами в узлах квадратной сетки?

   Решение

---

Коля Васин задумал число от 1 до 200. За какое наименьшее число вопросов вы сможете его отгадать, если он отвечает на каждый вопрос
а) ``да'' или ``нет'';
б) ``да'', ``нет'' или ``не знаю''?

   Решение

---

Докажите, что связный граф с 2n нечётными вершинами можно нарисовать, оторвав карандаш от бумаги ровно  n –1  раз и не проводя никакое ребро дважды.

   Решение

---

Все углы выпуклого многоугольника A₁...A_n равны, и из некоторой его внутренней точки O все стороны видны под равными углами.
Докажите, что этот многоугольник правильный.

   Решение

---

Для последовательности {a_n}

Докажите, что a_n = 0.

   Решение

---

Аня, Ваня и Саня сели в автобус, не имея медных монет, однако сумели заплатить за проезд, потратив по пять копеек каждый. Как им это удалось?

   Решение

---

При каких натуральных a и b число log_ab будет рациональным?

   Решение

---

Дана квадратная сетка на плоскости и треугольник с вершинами в узлах сетки. Докажите, что тангенс любого угла в треугольнике — число рациональное.

   Решение

---

Постройте прямоугольник с данным отношением сторон, зная по одной точке на каждой из его сторон.

   Решение

---

Длины всех сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, причем наибольший общий делитель этих чисел равен 1. Докажите, что его катеты равны 2mn и m² - n², а гипотенуза равна m² + n², где m и n — натуральные числа.

   Решение

---

Пятеро молодых рабочих получили на всех зарплату - 1500 рублей. Каждый из них хочет купить себе магнитофон ценой 320 рублей. Докажите, что кому-то из них придется подождать с покупкой до следующей зарплаты.

   Решение

---

Бумажная лента постоянной ширины завязана простым узлом и затем стянута так, чтобы узел стал плоским (см. рис.).
Докажите, что узел имеет форму правильного пятиугольника.

   Решение

---

Докажите иррациональность следующих чисел:

а)   ;

б)   ;

в)   ;

г)   ;

д)  cos 10° ;

е)  tg 10° ;

ж)  sin 1° ;

з)  log₂3 .

   Решение

Темы:    [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Корни. Степень с рациональным показателем (прочее) ] [ Тригонометрия (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите иррациональность следующих чисел:

а)   ;

б)   ;

в)   ;

г)   ;

д)  cos 10° ;

е)  tg 10° ;

ж)  sin 1° ;

з)  log₂3 .

Решение

а) Пусть   = ^m/_n,  где натуральные числа m и n взаимно просты. Тогда  m³ = 17n³.  Значит, m кратно 17, а n – нет. Следовательно, левая часть делится на 17³, а правая не делится. Противоречие.

б) Пусть    рационально, тогда и    рационально. Значит, и    рационально. Но иррациональность    доказывается аналогично а).

в) Пусть число  a =   рационально. Тогда    то есть число     рационально. Но это не так, что доказывается аналогично б).

г) Пусть число  b =   рационально. Тогда    Значит, и    рационально, что не так.

д) Пусть число  cos 10°  рационально. Тогда и число    рационально, что не так.

е) Пусть число  x = tg 10°  рационально. Тогда и число     рационально, что не так.

ж) Пусть число  sin 1°  рационально. Тогда и числа  sin 3°,  sin 6°  и  sin 18°  рациональны. Но     – число иррациональное. Противоречие.

з) Пусть  log₂3 = ^m/_n,  где натуральные числа m и n взаимно просты. Тогда  3ⁿ = 2^m,  что неверно.

Источники и прецеденты использования