Из 100 членов Совета Двух Племён часть — эльфы, остальные — гномы. Каждый написал два числа: количество эльфов в Совете и количество гномов в Совете. При этом своих соплеменников каждый посчитал верно, а при подсчёте иноплеменников ошибся ровно на 2. В написанных числах одна цифра встретилась не менее 222 раз. Сколько эльфов и сколько гномов могло быть в Совете? Если вариантов несколько — укажите один из них.

   Решение

В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$. Отрезки $BB_1$ и $A_1C_1$ пересекаются в точке $D$. Точка $E$ – проекция точки $D$ на сторону $AC$. Точки $P$ и $Q$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно так, что $EP=PD$, $EQ=QD$. Докажите, что $\angle PDB_1=\angle EDQ$.

   Решение

Пусть точка $M$ – середина катета $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $A$. На медиане $AN$ треугольника $AMC$ отмечена точка $D$, так что углы $ACD$ и $BCM$ равны. Докажите, что угол $DBC$ также равен этим углам.

   Решение

Пусть p и q — отличные от нуля действительные числа и p² - 4q > 0. Докажите, что следующие последовательности сходятся:
а) y₀ = 0,        y_{n + 1} =     (n 0);
б) z₀ = 0,        z_{n + 1} = p -     (n 0).
Установите связь между предельными значениями этих последовательностей y*, z^* и корнями уравнения x² - px + q = 0.

   Решение

Дан лист клетчатой бумаги. Докажите, что при  n ≠ 4  не существует правильного n-угольника с вершинами в узлах решетки.

   Решение

Темы:    [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Правильные многоугольники ] [ Метод спуска ] [ Доказательство от противного ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Дан лист клетчатой бумаги. Докажите, что при  n ≠ 4  не существует правильного n-угольника с вершинами в узлах решетки.

Решение

  Случай  n = 3  разобран в задаче 60867. Отсюда сразу следует невозможность существования правильного 3k-угольника (в частности, шестиугольника) с вершинами в узлах решетки.
   Пусть  n ≠ 3, 4, 6.  Предположим, что удалось построить правильный n-угольник с вершинами в узлах. Далее можно рассуждать по разному.

  Способ 1. Для трёх последовательных вершин A, B, C нашего n-угольника построим параллелограмм ABCD. Его четвёртая вершина D, очевидно, тоже попадает в узел. Проделав такое построение для каждых трёх последовательных вершин, мы получим n новых узлов решетки. Нетрудно проверить, что эти узлы не совпадают и лежат внутри исходного n-угольника. В силу симметрии они образуют новый правильный n-угольник, лежащий внутри исходного.
  Повторив для него то же построение, мы получим еще один – еще меньший – правильный n-угольник, и так далее. Но бесконечно эта процедура продолжаться не может, так как исходный многоугольник содержит лишь конечное число узлов решетки. Противоречие.

  Способ 2. Рассмотрим равнобедренный тр-к ABC (A, B, C – последовательные вершины n-угольника). Из теоремы косинусов следует, что
cos ∠ABC  – рациональное число. Согласно задаче 61103 отсюда следует, что  ∠ABC = ^π/₃, ^π/₂  или ^2π/₃, то есть  n = 3, 4 или 6.  Противоречие.

Замечания

1. Способ 1 взят из книги И.Н. Сергеева, С.Н. Олехника, С.Б. Гашкова "Примени математику", зад 16.22.

2. См. также статью А.А. Егорова "Решетки и правильные многоугольники", где подробно обсуждается не только эта задача, но и другие, связанные с ней результаты.

Источники и прецеденты использования