B ряд лежат 1000 конфет. Сначала Вася съел девятую конфету слева, после чего съедал каждую седьмую конфету, двигаясь вправо. После этого Петя съел седьмую слева из оставшихся конфет, а затем съедал каждую девятую из них, также двигаясь вправо. Сколько конфет после этого осталось?

   Решение

Из квадратного листа бумаги сложили треугольник (см. рисунки). Найдите отмеченный угол.

   Решение

Поезду, в котором находится m пассажиров, предстоит сделать n остановок.
  а) Сколькими способами могут выйти пассажиры на этих остановках?
  б) Решите ту же задачу, если учитывается лишь количество пассажиров, вышедших на каждой остановке.

   Решение

Известно, что каждое из целых чисел a, b, c, d делится на  ab – cd.  Докажите, что  ab – cd  равно либо 1, либо –1.

   Решение

Решите уравнение  (x + 1)⁶³ + (x + 1)⁶²(x – 1) + (x + 1)⁶¹(x – 1)² + ... + (x – 1)⁶³ = 0.

   Решение

Для каждого простого p найдите наибольшую натуральную степень числа p!, на которую делится число (p²)!.

   Решение

Из каждого клетчатого квадрата со стороной 3 клетки вырезается фигура из пяти клеток с таким же периметром, как у квадрата, но площадью 5 клеток. Саша утверждает, что сможет вырезать семь таких различных фигур (никакие две из них не совместятся при наложении, даже если фигуры переворачивать). Не ошибается ли он?

   Решение

Докажите, что первые цифры чисел вида 2²ⁿ образуют непериодическую последовательность.

   Решение

Капитан Врунгель в своей каюте разложил перетасованную колоду из 52 карт по кругу, оставив одно место свободным. Матрос Фукс с палубы, не отходя от штурвала и не зная начальной раскладки, называет карту. Если эта карта лежит рядом со свободным местом, Врунгель её туда передвигает, не сообщая Фуксу. Иначе ничего не происходит. Потом Фукс называет ещё одну карту, и так сколько угодно раз, пока сам не скажет "стоп". Может ли Фукс добиться того, чтобы после "стопа" каждая карта наверняка оказалась не там, где была вначале?

   Решение

Сколько существует десятизначных чисел, сумма цифр которых равна   а) 2;   б) 3;   в) 4?

   Решение

Как известно, для участия в лотерее "Спортлото" нужно указать шесть номеров из имеющихся на карточке 45 номеров.
  а) Сколькими способами можно заполнить карточку "Спортлото"?
  б) После тиража организаторы лотереи решили подсчитать, каково число возможных вариантов заполнения карточки, при которых могло быть угадано ровно три номера. Помогите им в этом подсчёте.

   Решение

а) Известно, что область определения функции  f(x)  – отрезок  [–1, 1]  и  f(f(x)) = – x  при всех x, а её график является объединением конечного числа точек и интервалов. Нарисовать график такой функции f(x).

б) Можно ли это сделать, если область определения функции – интервал  (–1, 1)?  Вся числовая ось?

   Решение

Какие множества на комплексной плоскости описываются следующими условиями:
  а)  |z| ≤ 1;   б)  |z – i| ≤ 1;   в)  |z| = z;   г)     д)  arg = ^π/₄;   е)  Re z² ≤ 1;   ж)  | iz + 1| = 3;   з)  |z – i| + |z + i| = 2;   и)   Im ¹/_z < –½   к)  ^π/₆ < arg (z – i) < ^π/₄.

   Решение

Тема:    [ Геометрия комплексной плоскости ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Какие множества на комплексной плоскости описываются следующими условиями:
  а)  |z| ≤ 1;   б)  |z – i| ≤ 1;   в)  |z| = z;   г)     д)  arg = ^π/₄;   е)  Re z² ≤ 1;   ж)  | iz + 1| = 3;   з)  |z – i| + |z + i| = 2;   и)   Im ¹/_z < –½   к)  ^π/₆ < arg (z – i) < ^π/₄.

Ответ

а) Круг радиуса 1 с центром  (0, 0).
б) Круг радиуса 1 с центром  (0, 1).
в) Положительная часть оси Ox (включая точку  (0, 0)).
г) Полуплоскость правее оси Oy.
д) Дуга окружности радиуса с центром в точке  (–1, 0),  находящаяся левее оси Oy.
е) Часть плоскости, ограниченная слева и справа ветвями гиперболы  x² – y² = 1.
ж) Окружность радиуса 3 с центром в точке  (0, 1).
з) Отрезок, с вершинами  (0, –1)  и  (0, 1).
и) Внутренность круга радиуса 1 с центром в точке  (0, 1).
к) Угол, ограниченный лучами прямых    и  y = x – 1,  лежащими в правой полуплоскости.

Источники и прецеденты использования