Эстафета длиной 2004 км состоит из нескольких этапов одинаковой длины, выражающейся целым числом километров. Участники команды города Энск бежали несколько дней, пробегая каждый этап ровно за один час. Сколько часов они бежали, если известно, что они уложились в неделю?

   Решение

Впишите в следующее предложение какое-нибудь числительное (не цифрами, а словом или словами), чтобы предложение было верным.

В этом предложении ______________________ гласных букв.

   Решение

Целое число $n$ таково, что уравнение  $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = n$  имеет решение в целых числах.
Докажите, что тогда и уравнение  $x^2 + y^2 - xy = n$  имеет решение в целых числах.

   Решение

В треугольнике ABC проведена высота AH; O — центр описанной окружности. Докажите, что  OAH = |B - C|.

   Решение

Докажите, что в любом треугольнике ABC биссектриса AE лежит между медианой AM и высотой AH.

   Решение

2003 доллара разложили по кошелькам, а кошельки разложили по карманам. Известно, что всего кошельков больше, чем долларов в любом кармане. Верно ли, что карманов больше, чем долларов в каком-нибудь кошельке? (Класть кошельки один в другой не разрешается.)

   Решение

Зашифрование сообщения состоит в замене букв исходного текста на пары цифр в соответствии с некоторой (известной только отправителю и получателю) таблицей, в которой разным буквам алфавита соответствуют разные пары цифр. Криптографу дали задание восстановить зашифрованный текст. В каком случае ему будет легче выполнить задание: если известно, что первое слово второй строки – "термометр" или что первое слово третьей строки – "ремонт"?

   Решение

Докажите неравенство:   + ... + ≥ .
Значения переменных считаются положительными.

   Решение

Темы:    [ Классические неравенства (прочее) ] [ Исследование квадратного трехчлена ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите неравенство:   + ... + ≥ .
Значения переменных считаются положительными.

Подсказка

Рассмотрите функции  f_k(x) = a_kx² – 2b_kx  и примените задачу 61400.

Решение 1

Заметим, что максимум функции вида  f(x) = 2bx – ax²  достигается в точке ^b/_a и равен ^b²/_a. Рассмотрим функции  f_k(x) = 2b_kx – a_kx².  Очевидно, что
max (f₁(x) + ... + f_n(x)) ≤ max f₁(x) + ... + max f_n(x),  что в точности совпадает с доказываемым неравенством.

Решение 2

Это неравенство получается из неравенства Коши – Буняковского (см. задачу 61402) подстановкой  

Источники и прецеденты использования