Выбрано 9 задач 
Убрать все задачи
Учитель собирается дать детям задачу следующего вида. Он сообщит им, что он задумал многочлен P(x) степени 2017 с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого равен 1. Затем он сообщит им k целых чисел n1, n2, ..., nk и отдельно сообщит значение выражения P(n1)P(n2)...P(nk). По этим данным дети должны найти многочлен, который мог бы задумать учитель. При каком наименьшем k учитель сможет составить задачу такого вида так, чтобы многочлен, найденный детьми, обязательно совпал бы с задуманным?
На плоскости дано n3 точек. Пусть d — наибольшее
расстояние между парами этих точек. Докажите, что имеется
не более n пар точек, расстояние между которыми равно d.
Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне. Найдите острый угол и большее основание трапеции, если меньшее основание равно 3, а высота трапеции равна 2.
Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица умножения"). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами?
Найти все такие натуральные n, для которых числа 1/n и 1/n+1 выражаются конечными десятичными дробями.
Составить две прогрессии: арифметическую и геометрическую, каждую из четырёх членов; при этом, если сложить одноимённые члены обеих прогрессий, то должны получиться числа: 27, 27, 39, 87.
Треугольник ABC не имеет тупых углов. На стороне AC этого треугольника взята точка D так, что AD = ¾ AC. Найдите угол A, если известно, что прямая BD разбивает треугольник ABC на два подобных треугольника.
В равенстве х5 + 2x + 3 = pk числа х и k – натуральные. Может ли число р быть простым?
Дан треугольник ABC и такая точка F, что ∠AFB = ∠BFC = ∠CFA. Прямая, проходящая через F и перпендикулярная BC, пересекает медиану, проведённую из вершины A, в точке A1. Точки B1 и C1 определяются аналогично. Докажите, что A1, B1 и C1 являются тремя вершинами правильного шестиугольника, три другие вершины которого лежат на сторонах треугольника ABC.
|
|
 |
Условие
Дан треугольник ABC и такая точка F, что ∠AFB = ∠BFC = ∠CFA. Прямая, проходящая через F и перпендикулярная BC, пересекает медиану, проведённую из вершины A, в точке A1. Точки B1 и C1 определяются аналогично. Докажите, что A1, B1 и C1 являются тремя вершинами правильного шестиугольника, три другие вершины которого лежат на сторонах треугольника ABC.
Решение 1
Возьмем правильный шестиугольник A1B'C1A'B1C' и такую точку M внутри треугольника A1B1C1, что ∠B1MC1 = 180° – α, ∠C1MA1 = 180° – β,
∠A1MB1 = 180° – γ, где α, β и γ – углы треугольника ABC (эти углы меньше 120╟, потому что F лежит внутри треугольника ABC; отсюда и следует, что точка M лежит внутри треугольника A1B1C1). Пусть прямые, проходящие через A', B' и C' и перпендикулярные A1M, B1M и C1M, образуют треугольник ABC (см. рис.). Очевидно, что он подобен данному треугольнику. Значит, осталось показать, что AA1, BB1 и CC1 являются его медианами, а M – точкой Торричелли (то есть M совпадает с F).
Пусть прямая, проходящая через C1 и параллельная AB, пересекает CA и CB в точках P и Q соответственно а T – точка пересечения прямых A1M и CB. Так как ∠A1TA' = 90°, T лежит на описанной окружности шестиугольника A1B'C1A'B1C' и четырёхугольник MC1QT вписанный. Следовательно,
∠C1QM = ∠C1TM = ∠C1TA1 = ∠C1B1A1 = 60°. Аналогично, ∠QPM = 60°, то есть треугольник MPQ равносторонний, а C1 – середина PQ. Рассмотрев гомотетию с центром C, получаем, что CC1 – медиана, а CM проходит через третью вершину равностороннего треугольника с основанием AB и, значит, через точку Торричелли.
Решение 2
Пусть AP – первая точка Аполлония треугольник ABC (см. рис.). Её педальный треугольник A0B0C0 правильный. Точки Аполлония и Торричелли изогонально сопряжены (см. статью А.В. Акопяна и А.А. Заславского "Разные взгляды на изогональное сопряжение"). Следовательно, их педальные треугольники имеют общую описанную окружность ω (см. задачу 56954).
Определим точку A1. Пусть E – проекция F на BC, тогда E лежит на ω. Прямая EF пересекает ω вторично в точке A1. Угол A0EA1 – прямой, следовательно, A0A1 – диаметр. Аналогично определяются точки B1 и C1. Треугольники A1B1C1 и A0B0C0 центрально симметричны относительно центра окружности ω. Следовательно, шестиугольник A1B0C1A0B1C0 правильный. Осталось доказать, что точки A1, B1 и C1 лежат на соответствующих медианах. Это можно сделать так же, как в решении 1.
