Выбрано 8 задач 
Убрать все задачи
Существует ли кусочно-линейная функция f, определённая на отрезке [–1, 1] (включая концы), для которой f(f(x))= – x при всех x?
(Функция называется кусочно-линейной, если её график есть объединение
конечного числа точек и интервалов прямой; она может быть разрывной.)
С натуральным числом K производится следующая операция: оно представляется в виде произведения простых сомножителей K = p1p2...pn; затем вычисляется сумма p1 + p2 + ... + pn + 1. С полученным числом производится то же самое, и т.д.
Доказать, что образующаяся последовательность, начиная с некоторого номера, будет периодической.
Имеется кучка из 100 камней. Двое играют в следующую игру. Первый игрок забирает 1 камень, потом второй может забрать 1 или 2 камня, потом первый может забрать 1, 2 или 3 камня, затем второй 1, 2, 3 или 4 камня, и так далее. Выигрывает тот, кто забирает последний камень. Кто может выиграть, как бы ни играл соперник?
При каких a и b многочлен P(x) = (a + b)x5 + abx² + 1 делится на x² – 3x + 2?
Окружность отсекает от прямоугольника ABCD четыре прямоугольных треугольника, середины гипотенуз которых A0, B0, C0 и D0 соответственно.
Докажите, что отрезки A0C0 и B0D0 равны.
Сумма модулей членов конечной арифметической прогрессии равна 100. Если все ее члены увеличить на 1 или все ее члены увеличить на 2, то в обоих случаях сумма модулей членов полученной прогрессии будет также равна 100. Какие значения при этих условиях может принимать величина n2d, где d - разность прогрессии, а n - число ее членов?
Можно ли разрезать по границам клеток фигуру на рисунке на 4 одинаковые части?
В равнобедренном треугольнике ABC (AC = BC) угол при вершине C равен 20°. Биссектрисы углов A и B пересекают боковые стороны треугольника соответственно в точках A1 и B1. Докажите, что треугольник A1OB1 (где O – центр описанной окружности треугольника ABC) является равносторонним.
|
|
 |
Условие
В равнобедренном треугольнике ABC (AC = BC) угол при вершине C равен 20°. Биссектрисы углов A и B пересекают боковые стороны треугольника соответственно в точках A1 и B1. Докажите, что треугольник A1OB1 (где O – центр описанной окружности треугольника ABC) является равносторонним.
Решение 1
Возьмём на сторонах BC и AC точки A' и B' так, что AB' = B'O = OA' = A'B. Очевидно, A'B' || AB, то есть ∠CA'B' = ∠CAB = 80°. Кроме того,
∠A'OB = ∠A'BO = ∠BCO = 10°. Значит, ∠CA'O = 20°, а ∠OA'B' = 60°, то есть треугольник OA'B' – равносторонний. Тогда A'B' = A'B и
∠A'BB' = ∠A'B'B = ∠ABB' (рис. слева). Следовательно, точка B' совпадает с B1. Аналогично A' совпадает с A1, что и требовалось.
Решение 2
Очевидно, A1B1 || AB, поэтому ∠B1A1A = ∠BAA1 = ∠B1AA1 = 40╟. Значит, B1A = B1A1. Построим равносторонний треугольник A1O1B1 (O1 находится с той же стороны от прямой A1B1, что и точка C, рис. справа). В силу симметрии точка O1 лежит на биссектрисе угла C. Кроме того, B1A = B1A1 = B1O1. Угол при вершине равнобедренного треугольника AB1O1 равен 160°, значит, угол B1AO1 при его основании равен 10°. Следовательно, в треугольнике AO1C ∠CAO1 = ∠O1CA, то есть O1A = O1C. Аналогично O1B = O1C, значит, O1 совпадает с O.
