Выбрано 9 задач 
Убрать все задачи
Решите в натуральных числах уравнение (1 + nk)l = 1 + nm, где l > 1.
На экране компьютера напечатано некоторое натуральное число, кратное 7, и отмечен курсором промежуток между какими-то двумя его соседними цифрами.
Докажите, что существует такая цифра, что если её впечатать в отмеченный промежуток любое число раз, получится число, делящееся на 7.
Касательная в точке B к описанной окружности S
треугольника ABC пересекает прямую AC в точке K. Из точки K
проведена вторая касательная KD к окружности S. Докажите,
что BD — симедиана треугольника ABC.
Докажите для каждого натурального числа n > 1 равенство: [n1/2] + [n1/3] + ... + [n1/n] = [log2n] + [log3n] + ... + [lognn].
Несколько (конечное число) точек плоскости окрашены в четыре цвета, причём есть точки каждого цвета. Никакие три из этих точек не лежат на одной прямой. Докажите, что найдутся три разных (возможно, пересекающихся) треугольника, каждый из которых имеет вершины трёх разных цветов и не содержит внутри себя окрашенных точек.
К плоскости приклеены два непересекающихся не обязательно одинаковых деревянных круга – серый и чёрный. Дан бесконечный деревянный угол, одна сторона которого серая, а другая – чёрная. Его передвигают так, чтобы круги были снаружи угла, причём серая сторона касалась серого круга, а чёрная – чёрного (касание происходит не в вершине). Докажите, что внутри угла можно нарисовать луч, выходящий из вершины, так, чтобы при всевозможных положениях угла этот луч проходил через одну и ту же точку плоскости.
Дана клетчатая полоса 1×N. Двое играют в следующую игру. На очередном ходу первый игрок ставит в одну из свободных клеток крестик, а второй – нолик. Не разрешается ставить в соседние клетки два крестика или два нолика. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Кто из игроков может всегда выиграть (как бы ни играл его соперник)?
У математика есть набор из 16 гирь: 1/3 кг, 1/4 кг, 1/5 кг, ..., 1/18 кг. На левой чаше весов лежит груз 1 кг. Какие гири положить на правую чашу весов, чтобы уравновесить груз? (Достаточно привести один пример.)
Все натуральные числа выписали в ряд в некотором порядке (каждое число по одному разу). Обязательно ли найдутся несколько (больше одного) чисел, выписанных подряд (начиная с какого-то места), сумма которых будет простым числом?
|
|
 |
Условие
Все натуральные числа выписали в ряд в некотором порядке (каждое число по одному разу). Обязательно ли найдутся несколько (больше одного) чисел, выписанных подряд (начиная с какого-то места), сумма которых будет простым числом?
Решение
Покажем как записать натуральные числа в бесконечную последовательность, где таких "простых сумм" нет.
Возьмём a1 = 1, a2 = 3. Пусть конечная последовательность a1, a2, ..., an (n > 1) без "простых сумм" уже построена, и m – наименьшее натуральное число, которое не является ее членом. Положим S = a1 + a2 + ... + an + m, an+1 = S!, an+2 = m. Полученная последовательность a1, ..., an+2 также не содержит "простых сумм". Действительно, любая сумма, содержащая слагаемое an+1, равна S! + k, где 1 < k ≤ S, и не является простым числом, поскольку делится на k.
Продолжая такое построение по индукции, мы получим бесконечную последовательность. Из построения очевидно, что каждое натуральное число попадает в эту последовательность ровно один раз.
Замечания
8 баллов
