Версия для печати
Убрать все задачи

---

В пространстве даны 200 точек. Каждые две из них соединены отрезком, причём отрезки не пересекаются друг с другом. Первый игрок красит каждый отрезок в один из k цветов, затем второй игрок красит в один из тех же цветов каждую точку. Если найдутся две точки и отрезок между ними, окрашенные в один цвет, выигрывает первый игрок, в противном случае второй. Докажите, что первый может гарантировать себе выигрыш, если
  а)  k = 7;   б)  k = 10.

   Решение

---

Даны 15 целых чисел, среди которых нет одинаковых. Петя записал на доску все возможные суммы по 7 из этих чисел, а Вася – все возможные суммы по 8 из этих чисел. Могло ли случиться, что они выписали на доску одни и те же наборы чисел? (Если какое-то число повторяется несколько раз в наборе у Пети, то и у Васи оно должно повторяться столько же раз.)

   Решение

---

С помощью циркуля и линейки опишите около данной окружности ромб с данным углом.

   Решение

---

Решить в целых числах уравнение  ¹/_a + ¹/_b + ¹/_c = 1.

   Решение

---

Докажите, что две изотомические прямые треугольника не могут пересекаться внутри его серединного треугольника. ( Изотомическими прямыми треугольника $ABC$ называются две прямые, точки пересечения которых с прямыми $BC$, $CA$, $AB$ симметричны относительно середин соответствующих сторон треугольника.)

   Решение

---

Известно, что уравнение  x⁴ + ax³ + 2x² + bx + 1 = 0  имеет действительный корень. Докажите неравенство  a² + b² ≥ 8.

   Решение

---

Внутри треугольника $ABC$ на биссектрисе угла $A$ выбрана произвольная точка $J$. Лучи $BJ$ и $CJ$ пересекают стороны $AC$ и $AB$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Касательная к описанной окружности треугольника $AKL$ в точке $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $P$. Докажите, что $PA=PJ$.

   Решение

---

Докажите, что число
  а)  97⁹⁷,
  б)  1997¹⁷
нельзя представить в виде суммы кубов нескольких идущих подряд натуральных чисел.

   Решение

---

Докажите, что если

то один из углов треугольника ABC равен 60^o.

   Решение

---

Докажите, что  16Rr - 5r² p² 4R² + 4Rr + 3r².

   Решение

---

В некоторых клетках квадрата 200×200 стоит по одной фишке – красной или синей; остальные клетки пусты. Одна фишка видит другую, если они находятся в одной строке или одном столбце. Известно, что каждая фишка видит ровно пять фишек другого цвета (и, возможно, некоторое количество фишек своего цвета). Найдите наибольшее возможное количество фишек.

   Решение

---

Окружности $s_1$ и $s_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $A$ проводятся всевозможные прямые, вторично пересекающие окружности в точках $P_1$ и $P_2$. Постройте циркулем и линейкой ту прямую, для которой $P_1A\cdot AP_2$ принимает наибольшее значение.

   Решение

---

В таблице 2005×2006 расставлены числа 0, 1, 2 так, что сумма чисел в каждом столбце и в каждой строке делится на 3.
Какое наибольшее возможное количество единиц может быть в этой таблице?

   Решение

---

Дан треугольник ABC. С помощью двусторонней линейки, проведя не более восьми линий, постройте на стороне AB такую точку D, что
AD : BD = BC : AC.

   Решение

Темы:    [ Построения с помощью двусторонней линейки ] [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Трапеции (прочее) ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC. С помощью двусторонней линейки, проведя не более восьми линий, постройте на стороне AB такую точку D, что
AD : BD = BC : AC.

Решение

Проведём прямые a, b, c, параллельные BC, CA, AB и лежащие от них на расстоянии ширины линейки с внешней стороны треугольника. Прямые a, b, BC, AC образуют ромб, диагональ которого является биссектрисой угла C. Пусть E – точка пересечения этой биссектрисы с прямой c, а F – точка пересечения диагоналей трапеции, образованной прямыми c, AB, AC и BC (см. рис.). Тогда прямая EF пересекает AB в искомой точке D.

Источники и прецеденты использования